Взаимное расположение сферы и плоскости Кравченко Н.А. Учитель математики ГБОУ Гимназия 402 г. Москва

Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Введем обозначения: R – радиус сферы, d – расстояние от центра сферы до плоскости α, С – центр сферы.

Введем систему координат так, чтобы в ней центр сферы имел координаты С(0;0;d), следовательно сфера имеет уравнение. Вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.

1 случай Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

2 случай Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3 случай Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задача Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Дано: γ – сфера, R=10 см, ABCD – прямоугольник, A, B, C, D γ, AC=16. Найти: d. Решение: Проведем перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Обозначим М – точка пересечения диагоналей прямоугольника, О – центр сферы. Треугольник АОС – равнобедренный, значит, ОМ – медиана и высота. Треугольник BDO – равнобедренный, значит, ОМ – медиана и высота.

Так как и, то, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ОМ перпендикулярен плоскости треугольника. Значит, ОМ – искомое расстояние. Из треугольника ОМА по теореме Пифагора имеем: Ответ: 6.

Использованный материал взят из учебника Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия 10-11». Рамка для оформления слайдов: для%20 презентаций%2 0powerpoint&img_url=http%3A%2F%2Fwww.wmich.edu%2Fleadership%2Fpr oposals%2FBrinks_files%2FBrinks_files%2Fmaster03_background.gif&pos=0&r pt=simage&lr=213&noreask=1&source=wiz для%20 презентаций%2 0powerpoint&img_url=http%3A%2F%2Fwww.wmich.edu%2Fleadership%2Fpr oposals%2FBrinks_files%2FBrinks_files%2Fmaster03_background.gif&pos=0&r pt=simage&lr=213&noreask=1&source=wiz Картинка на титульном листе: картинки& noreask=1&pos=4&rpt=simage&lr=213&uinfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh- 471-pd- 1&img_url=http%3A%2F%2Fimg1.liveinternet.ru%2Fimages%2Fattach%2Fc%2 F2%2F68%2F926%2F _ _Mir_v_edinichnom_yekzemplyar e.jpg