1 1. Множества

Понятие множества. Логические символы Под множеством понимают совокупность определенных и отличных друг от друга объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое. Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества. Множества обозначают прописными латинскими буквами А, В, С,..., а элементы множеств строчными латинскими буквами а, b, с,.... Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: ; Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут:. Множества. Способы задания

3 Если множество А состоит из элементов а, b, с, d, то пишут Если множество А задается указание характерного свойства P(x) его элементов, то записывают так: Множество, состоящее из одного элемента, называют одноэлементным и обозначают:. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом. Например, множество действительных корней уравнения пусто. Все множества делятся на конечные и бесконечные. Множество, состоящие из конечного числа элементов, называются конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А - конечное множество, то число его элементов обозначаю через и называют мощностью множества А.

4 Квантор общностиКвантор общности обозначается (любой, всякий, каждый). Выражение для любого x из множества М можно записать короче:. Выражение во всяком треугольнике ABC записывают в виде. Квантор существованияКвантор существования обозначается (существует, найдется). Выражение существует x, принадлежащий множеству M, такое, что... записывают так:. Двоеточие означает имеет место такое, что. Например: ( выражение для любого существует, такое, что для всех x, отличных от и удовлетворяющих неравенству, выполняется неравентво ) Логические символы

5 Символ логического следствияСимвол логического следствия (следует, вытекает). Выражение из утверждения a следует утверждение b записывают так:. Символ эквивалентностиСимвол эквивалентности обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него и читается: тогда и только тогда, когда..., равносильно..., необходимо и достаточно. Например, выражение в любом треугольнике ABC сторона АС равна стороне ВС тогда и только тогда, когда угол А равен углу В записывается в виде:

6 Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. (обозначение: А=В). Равные множества состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обладает следующими свойствами: 1. А = А (рефлексивность); 2. А = В, В = С А = С (транзитивность); 3. А = В В = А (симметричность). Если множество А не равно множеству В, то пишут. Отношения между множествами

7 подмножеством множества ВМножество А, называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. (обозначение: ). отношение включения отношение строгого включенияПонятие подмножества определяет между двумя множествами отношение включения. Если, то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают (отношение строгого включения). Всякое натуральное число является целым, поэтому. Но всякое целое число является рациональным, следовательно,. Всякое же рациональное число является действительным, поэтому. Следовательно,. Множество рациональных и иррациональных чисел не равны между собой и ни одно из них не является подмножеством другого.

8 Пусть дано универсальное множество U. Множества А и В - произвольные подмножества множества U. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или обоим одновременно): Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам: 1.2. Операции над множествами

9 Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно: коммутативный и ассоциативный законы: дистрибутивный закон:

10 Разностью двух множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат В, но принадлежат А : Разность называется дополнением множества А до универсального множества U:

11 упорядоченнойПара элементов называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов x и y. Считается, что координатами этой парыЭлементы x и y упорядоченной пары называются координатами этой пары. Декартовым произведениемДекартовым произведением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар: Если A=B, то называют декартовым квадратом.

12

Отображение множеств. Эквивалентность множеств задано отображениеоператорПусть А, В произвольные множества и f - закон (правило), по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент. Тогда говорят, что задано отображение f множества А в множество B, или оператор f, переводящий множество А в множество B. Элемент b, в который отображен a, называют образом элемента a при отображении f и обозначают f(a). Элемент а называют прообразом элемента f(a). Множество образов всех элементов a при отображении f называют образом множества А: Задание отображения предполагает задание тройки (А, f, B), где А - отображаемое множество; В - множество значений отображения; f - закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие элемент.

14 взаимно однозначным биективнымОтображение называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент является образом только одного элемента. обратным к отображениюОтображение называют обратным к отображению f, если т.е. элементу ставится в соответствие тот элемент, образом которого при отображении f является b.

15 эквивалентными (равномощными),Два множества А и В называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое. (обозначение: A ~ B ). Свойства отношения эквивалентности: счетнымВсякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Например, N - множество натуральных чисел, А - множество четных натуральных чисел. Взаимно однозначное соответствие с помощью соотношения

16