ГАОУ ДПО Сар ИПКиПРО ІІІ региональный конкурс творческих работ по математике «Математика в моей жизни» Номинация «Бенефис одной задачи» Выполнила: Шатилова Виктория Ученица 11 класса МОУ «СОШ р.п. Красный Текстильщик Саратовского района Саратовской области» Научный руководитель: Свириденко О.В г

Для успешного изучения геометрии необходимо знать не только основные формулы и теоремы, но и владеть различными методами решения задач. Пять основных методов, применяемых в решении задач: координатный координатный векторный векторный аналитический аналитический тригонометрический тригонометрический геометрический геометрический

Задачи работы: испробовать разные методы на одной задаче; выявить отличительные черты, сильные и слабые стороны разных методов.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС. Приступая к решению задачи, сразу замечаем, что если О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы AD, то прямоугольные треугольники ABO и DВО равны. Поэтому АО=ОD=2 и АВ=BD, так что ВС=2АВ.

Примем точку О за начало прямоугольной системы координат, оси Ох придадим направление вектора OD и будем считать единицей масштаба. В данной системе точки A, D, B имеют координаты: А (-2;0), D (2;0) и В (0;b). Для того чтобы определить длины сторон треугольника АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты точек С и Е. Так как D – середина отрезка ВС, то С (4;-b). Для точки Е имеем координаты (0;у). Вторую координату точки Е найдем, пользуясь, тем что точка Е принадлежит прямой АС. Уравнение прямой АС имеет вид: Координаты точки Е (0;у) удовлетворяют этому уравнению. Подставив в него 0 вместо х, получим: Следовательно, По условию задачи ВЕ=4, значит,, или b=3. Итак, А (-2;0), В (0;3), С (4;-3). Зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны:

Векторы ВЕ и АД выразим через а и с.Так как ВС=2BD, то СЕ=2АЕ( по свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим: Согласно вычитанию векторов, имеем: Длины векторов ВЕ и АD известны. Пусть Вычислив скалярные квадраты вектором ВЕ и АD, получим уравнения: Найдем теперь через сторону АС, пользуясь векторной формулировкой теоремы косинусов: Подставим найденные выше значения и получим:

Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины а, b, с сторон треугольника по формулам: Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2 х и СЕ=2 у. Получим систему уравнений:

Обозначим АВ=х, угол АВС=2α. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ находим: Учитывая, что СЕ=2АЕ или СЕ 2 =4АЕ 2, получаем: x cos α=3. Но x cos α=ВО, значит, ВО=3 и ОЕ=1. Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить стороны треугольника АВС.

1. С помощью площадей 2. С помощью осевой симметрии 3. По теореме о средней линии треугольника 4. По теореме Менелая

Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и АD перпендикулярна ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и ВDЕ равна 4. Площадь треугольника СDЕ так же равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна 12. По скольку АD-медиана треугольника АВС, то площадь треугольника АВD равна 6. Остается применить формулу площади треугольника. Получим: АО*ВО=6. Но АО=2, значит, ВО=3 Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора.

Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок DЕ до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DЕ. Получим равнобедренный треугольник ВСF, из равенства треугольника ВЕF и ВЕС следует, что ВF=ВС. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н. Тогда ВН - биссектриса треугольника ВСF, а следовательно, и его медиана. Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВСF, и поэтому ЕН=0,5ВЕ=2, а ВН=6. Средняя линия AD треугольника ВСF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО=3. Далее поступаем так же, как при решении задачи другими способами и получаем тот же ответ.

Проведем среднюю линию DК треугольника ВСЕ. Так как DК параллельна ВЕ и АО=ОD, то ОЕ – средняя линия треугольника ADK. Следовательно: Так как ВЕ=4, то ОЕ=1 и ВО=3 Из приведенного решения видно, что отношение ВО/ОЕ не зависит от отрезков ВЕ и AD. Найти это отношение можно также, используя лишь тот факт, что АD – медиана треугольника АВС и АО=ОВ, причем без всяких вспомогательных построений.

Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках Е и О. По теореме Менелая из треугольника АСD имеем: а так как Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей АD, получим: Но АЕ/АС=1/3 и СD=DB. Следовательно, ВО/ОЕ=3.

В ходе работы мы рассмотрели пять методов решения конкретной задачи: координатный векторный аналитический тригонометрический геометрический Как правило, основными методами решения планиметрических задач на вычисления являются алгебраические и тригонометрические методы. Но как видно из работы, геометрические методы оказались проще и изящнее, хотя к ним можно прийти только догадавшись провести некоторые вспомогательные линии. Таким образом, важно владеть геометрическими приемами, которые позволяют найти наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений.

Литература: Научно-теоретический и методический журнал МО РФ «Математика в школе»