Конас и сфера Работу выполнили ученицы 11 «А» класса Рудая Анна(теория: все о сфере, комбинация «сфера, вписанная в конас»,задача 1) Колевенкова Дарья(теория: все о конасе, комбинация «конас, описанный вокруг сферы»,задача 2)

Сфера и шар Сфера есть множество всех точек пространства, которые находятся на данном расстоянии от данной точки. Точка О называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой- либо точкой сферы, называется радиусом сферы(R) Прямая АВ называется осью, а точки А и В пересечения ее со сферой полюсами сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы(KN) Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр(АВ) R N K

Шар Шаром с центром в точке О и радиуса R называется множество всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии, не превосходящем R. Шаром называется тело, ограниченное сферой. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра(АВ) Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра полюсами шара. Поверхность шара называется сферой. R A B

Часть шара ( сферы ), отсекаемая от него какой-либо плоскостью (ABC), называется шаровым сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Шаровой сегмент Формулы: V=1/3П 2 H(3R-H)

Шаровой слой Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями ABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

Шаровой сектор Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента ( AMCB) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента ( ABC ), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором. Формулы: V=2/3ПR 2 H

Формулы Формулы нахождения площади поверхности сферы: S = 4πr 2 Уравнение сферы: (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2, где (x 0,y 0,z 0 ) координаты центра сферы, R её радиус. Объем шара: V=4/3 пR 3

Сфера, вписанная в конас Сфера называется вписанной в конас, если она касается всех образующих конаса и его основания. В любой конас можно вписать сферу. Центр сферы лежит на оси конаса и является центром окружности, вписанной в осевое сечение конаса. Формулы радиуса шара, вписанного в конас: R - радиус вписанного шара, r - радиус основания конаса, l - длина образующей конаса, H - высота конаса, A - угол наклона образующей конаса к его основанию. l H l r Формулы: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2

Сфера, вписанная в усеченный конас В усеченный конас можно вписать сферу тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований конаса. В этом случае вписанная сфера - единственная. L Формулы(условие): L=r1+r2 r1 r2 L

Задача 1 Задача 1. В конас вписан шар радиуса r. Найти объем конаса, если его высота равна h. Решение: Осевое сечение данной комбинации шара и конаса – это равнобедренный треугольник PAB, описанный вокруг окружности с центром О и радиусом R, PC = h – высота конаса, OD PB. Объем конаса Так как поэтому или откуда Следовательно, Ответ:

Задача 2 В шар радиуса R вписан конас, высота которого Н. Найдите угол между образующей конаса и плоскостью основания. Рассмотрим диаметральное сечение шара, как показано на рисунке б). Как известно угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае АВ - прямая, а АР - проекция. ОР=ВР-ОВ=H-R(где H-высота конаса,R-радиус сферы) Из прямоугольного треугольника ОАР определим катет АР по теореме Пифагора: R H Ответ: O

Конас Ко́нас тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конаса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конасом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конаса, а конас называют опирающимся на данное основание). Если основание конаса представляет собой многоугольник, конас становится пирамидой. Геометрическое тело, создаваемое вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов

Элементы и части конаса Вершина точка при неподвижном остром угле вращающегося прямоугольного треугольника, образующего конас. Основание круг, ограничивающий конас, описываемый подвижным катетом образующего треугольника. Высота отрезок, перпендикулярный основанию, проходящий через вершину, неподвижный катет образующего треугольника, а также длина этого отрезка. Образующая отрезок, соединяющий вершину и точку на окружности, ограничивающей основание, гипотенуза описывающего треугольника. Боковая поверхность коническая поверхность, ограничивающая конас, образуемая гипотенузой образующего треугольника. o p БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОБРАЗУЮЩАЯ ОСНОВАНИЕ КОНУСА РАДИУС ВЕРШИНА ОСЬ

Усеченный конас Усеченным конасом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Связанные определения Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конаса. Прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конаса. Круговой конас конас, основание которого является кругом. Конас, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конасом (последние два имеют бесконечный объём). Часть конаса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конасом.

Формулы Площадь боковой поверхности: Площадь полной поверхности Объем Длина образующей

Формулы усеченного конаса

Конас, вписанный в окружность Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника. Шар называется описанным около усеченного конаса (конаса), если окружности оснований (окружность основания и вершина)принадлежат поверхности шара. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника. Конас вписан в сферу (сфера описана около конаса), если его вершина принадлежит сфере, а основание является сечением шара (AOC), ограниченного данной сферой Около конаса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конаса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конаса. A B AC O Формулы: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-радиус шара r- радиус основания конаса H-высота конаса

Конасы и сферы вокруг нас