МБОУ СОШ 7 г.Клинцы Брянская область КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕМЕ: Учитель: Зиновьева Т.В.

Тема: Сфера. Уравнение сферы. Цели: 1) каждый ученик знает определение сферы; ее элементов; уравнение сферы; 2) правильно выбирает уравнение сферы и применяет при решении задач; 3) анализирует полученные результаты, делает выводы; 4) формировать пространственные представления и воображение учащихся; 5) Развивать внимание, восприятие, память учащихся. Тип урока: интегрированный урок изучения нового материала Методы: объяснительно-иллюстративный, конкретно-индуктивный, частично-поисковый. Оборудование: чертежные инструменты, компьютерные презентации, раздаточный материал.

План урока: 1. Подготовка к изучению нового материала: а) вступительное слово учителя; б) повторение известных тел вращения, способы их получения; в) повторение определения окружности и ее элементов. 2. Введение определения сферы и ее элементов 3. Усвоение определения сферы через примеры на распознавание. 4. Закрепление определения сферы через решение задач. 5. Подготовка учащихся к выводу уравнения сферы: а) повторение уравнения линии на плоскости; б) повторение вывода уравнения окружности. 6. Введение определения уравнения поверхности в пространстве. Вывод уравнения сферы. 7. Усвоение знания уравнения сферы через примеры на распознавание. 8. Закрепление знания уравнения сферы через систему упражнений. 9. Решение упражнений на применение знаний, умений и навыков в новой ситуации. 10. Самостоятельная работа учащихся с целью проверки знаний, умений и навыков. 11. Подведение итогов урока. 12. Постановка домашнего задания.

Ход урока: Учитель Ученик 1. Подготовка к изучению нового материала. Слайд 1. Здравствуйте. Откройте тетради, запишите число, Классная работа и тему урока: Сфера. Уравнение сферы. Слайд 2 Изучая школьные дисциплины вы уже не один раз встречались с понятиями сферы. На уроках истории и обществознания вы давали понятие - социальной сферы - это система социальных отношений, т.е. отношений между группами людей, занимающими различное положение в социальной структуре общества. -политическая сфера – это система политических и правовых отношений, возникающих в обществе. Слайд 3 На занятиях по православной культуре знакомились с понятием духовная сфера – это система отношений между людьми, отражающая духовно-нравственную жизнь общества, представленную такими подсистемами, как культура, наука, религия, мораль, идеология, искусство.

Учитель Ученик Слайд 4 На уроках географии вы познакомились с 4 сферами Земли - литосфера, гидросфера, биосфера и атмосфера Задача нашего урока дать понятие сферы с точки зрения геометрии. И сегодня на уроке вы не только сформулируете понятие сферы, но и познакомитесь со способом ее получения, элементами, научитесь решать задачи, связанные со сферой, составите уравнение сферы в пространстве. - Какие цели вы ставите перед собой на этом уроке? Работа со слайдом 5: -Посмотрите на экран и назовите известные вам геометрические тела, изображенные на рисунке. - Каким способом можно получить цилиндр? - Сформулируйте определение цилиндра. - Как был получен конус? - Цилиндр, конус - Вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон. - Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, ограниченными окружностями, называется цилиндром. - Вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Учитель Ученик -Сформулируйте определение конуса. -Можно ли получить новое геометрическое тело вращением и какую фигуру будем вращать? Работа со слайдом 6: - Сформулируйте определение окружности и ее элементов. 2. Введение определения сферы и ее элементов. Работа со слайдом 7: - Какой элемент окружности выберем для оси вращения? -При вращении полуокружности вокруг диаметра получается новое тело вращения – сфера. (демонстрация модели) -Попробуем по аналогии с окружностью и другими телами вращения сформулировать определение сферы. Итак, сфера – Это…(что?) Состоящее из… (чего?) Расположенных… (как?) -Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, ограниченным окружностью, называется конусом. - Можно, окружность - Диаметр. -геометрическое тело вращения -из всех точек пространства - на одинаковом расстоянии от данной точки.

Учитель Ученик -Обобщая ваши мысли можно сделать вывод, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Работа со слайдом 8: -Изобразим в тетради геометрическое тело вращения – сферу. 1. Строим Окр(О;r) 2. Строим эллипс с тем же центром. - давайте сформулируем определения элементов сферы (продолжить предложение) : Данная точка – это… Радиус сферы- это.. Диаметр сферы- это… Чему равен диаметр сферы? Одновременно на доске и в тетрадях учащихся появляются записи: 3. Усвоение определения сферы через примеры на распознавания. Работа со слайдом 9: - Какие из геометрических тел, изображенных на рисунке, удовлетворяют определению сферы? - Центр сферы. - Отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой сферы. - Отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через её центр. d=2R О- центр сферы ОА – радиус сферы ВС – диаметр; d=2R 2;5.

Учитель Ученик Работа со слайдом 10 Посмотрите на слайд и попробуйте определить в каких областях жизни применяются знания сферы. Вывод: знания о сфере нужны в различных областях жизни и мы начнем ее изучение с помощью решения задач. 4. Закрепление определения сферы через решение задач. Работа со слайдом 11: 573(а) Что дано? Что нужно доказать? Рисунок и решение оформляются на доске и в тетрадях - в архитектуре - в промышленном производстве - Дано: сфера, О -центр сферы, А, В лежат на сфере М АВ, ОАВ, М –середина АВ Доказать: ОМАВ Решение: АОВ -плоскость АОВ –равнобедренный, т.к. АО=ОВ=К ОМ – медиана, т.к. М – середина АВ ОМ – высота, т.к. медиана, проведенная в равнобедренном треугольнике к основанию, является высотой. ОМАВ

Учитель Ученик Работа со слайдом 12: 574(а) Используется рисунок предыдущей задачи. Какие данные добавлены? Что нужно найти? Работа со слайдом 13 Готовимся к ЕГЭ ФИПИ для подготовки ЕГЭ-2011 предлагает следующую задачу в первой части работы: Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем. Вопросы классу: 1. Сформулируйте определение параллелепипеда. 2. Что значит: параллелепипед описан около сферы? 3. Как найти объем параллелепипеда? R =50 см, АВ =40 см ОМ Решение: АОМ –прямоугольный, АО =R =50 см, АМ= АВ : 2 =40 : 2 =20 (см) По теореме Пифагора ОМ=10 (см) 1) Если параллелепипед описан около сферы – значит каждая грань касается сферы. 2) Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда надо знать три его измерения: длину, ширину, высоту. В данном случае они все будут равны диаметру окружности, т.е. 2 радиусам, значит в задаче надо найти объем куба. Объем куба равен кубу его ребра. 1. Д=8 2. V=83=64 Ответ: 64

Учитель Ученик 5. Подготовка учащихся к выводу уравнения сферы. «Продолжаем изучение нового материала и познакомимся с уравнением сферы для того, чтобы научиться решать задачи на определение расположения сферы в пространстве. Работа со слайдом 14: -Вспомните и сформулируйте определение уравнения линии L на плоскости. -Попробуйте «перенести» ваши знания из плоскости в пространство и сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве. Итак, сколько переменных определяют положение точки в пространстве? Значит, уравнение с… Называется уравнением поверхности, если этому уравнению … и … -Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. -Три, х;у;z. -тремя переменными х;у;z. -Удовлетворяют координаты любой точки поверхности -Не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Учитель Ученик Читаем определение на слайде, выделяем ключевые слова. 6. Введение определения уравнения поверхности в пространстве. Вывод уравнения сферы. -Итак, сегодня на уроке мы с вами выведем уравнение поверхности сферы в пространстве. Для этого повторим вывод уравнения окружности на плоскости. Работа со слайдом 15: -Поможет ли нам формула расстояния между точками в пространстве составить уравнение поверхности сферы в пространстве? - С чего начнем вывод уравнения поверхности сферы в пространстве? Уравнение с тремя переменными х,у.z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащие на этой поверхности. При выводе уравнения окружности мы использовали формулу расстояния между точками на плоскости в координатах, где одна из точек – это центр окружности, а другая – точка на окружности. Да. 1. Запишем формулу расстояния между точками в пространстве. 2. Введем обозначение центра сферы и точки на сфере в координатах. 3. Расстояние между этими точками – есть радиус. 4. Запишем уравнение

Учитель Ученик Вывод: Какое уравнение называют уравнением сферы? -Какие данные необходимы для составления уравнения сферы? Работа со слайдом 16: -Рассмотрим частные случаи расположения окружности на плоскости и сферы в пространстве 7. Усвоение знания уравнения сферы через примеры на распознавание. Работа со слайдом 17: Выберите из предложенных уравнений, уравнения поверхности сферы. Определите координаты центра сферы и ее радиуса (устно), а к уравнению 8 мы вернемся позже и докажем, что это тоже уравнение сферы. Работа со слайдом 18: Запишите предложенные уравнения поверхности сферы и определите координаты центра сферы и ее радиус самостоятельно Уравнение с тремя переменными х,у,z вида: (х- х 0 ) 2 +(у- у 0 ) 2 +(z- z 0 ) 2 =R 2, где х.у,z –координаты точки принадлежащей сфере, а х 0,у 0, z 0 - координаты центра сферы, а R 2 – квадрат длины радиуса сферы. -Координаты центра сферы и ее радиуса. х 2 +у 2 =r 2 ; х 2 +у 2 +z 2 =R 2 2,6,7,8-? 2) (1,5,3); R=2 4) (-2;-4;-8); R=3 6) (0;0;0); R=4 7)(2;4;7); R=3

Учитель Ученик Работа со слайдом 19: Проверяем ответы, анализируем ошибки. 9. Решение упражнений на применение знаний, умений и навыков в новой ситуации. Работа со слайдом 20: Работа у доски и в тетрадях учащихся По данным координатам центра сферы и радиусу найти уравнение сферы. -Что необходимо знать, чтобы составить уравнение сферы? -Все известно? -Составьте уравнение сферы. Работа со слайдом 21: Задача (устно). Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением (х-3)2+(у+7)2+(z-5)2=30, если: а) т.А(5;-2;6); б) т.А(-5;2;6) ? -Каким способом решают задачи «на принадлежность»? - Координаты центра сферы и радиус. - Да 1. (х+2) 2 +(у-4) 2 +(z+7) 2 =25 2. х 2 +у 2 +z 2 =49 3.(х-3) 2 +(у+2) 2 +z 2 =2 Подстановкой координаты данной точки в заданное уравнение.

Учитель Ученик 1 вариант – выполняет подстановку задания под буквой а, 2 вариант –под буквой б. Работа со слайдом 22: 577 Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через тN, если А(-2;2;0); N(5;0;-1). Что необходимо знать, чтобы составить уравнение сферы? Что известно по условию? Что неизвестно? Как мы можем найти радиус? Решение задачи у доски и в тетрадях. а) Ответ: т.А принадлежит сфере; б) Ответ: т.А не принадлежит сфере. - Координаты центра сферы и радиус. - Координаты центра сферы и координаты точки, через которую проходит сфера. - Радиус - По формуле расстояний между точками. Дано: А (-2;2;0)-центр сферы; N(5;0;-1) сфере Найти: уравнение сферы Решение: R 2 =(5+2) 2 +(0-2) 2 +(-1) 2 =54 по формуле расстояния между точками (х+2) 2 +(у-2) 2 +z 2 =54 –уравнение сферы.

Учитель Ученик Работа со слайдом 23: 579 (а, г) В условии задачи вы видите уравнение, к которому я обещала вам вернуться позже и доказать, что это уравнение тоже уравнение сферы. Проанализируем условие задачи. - Что известно? -Что надо доказать, найти? Каким способом можно доказать, что данное уравнение является уравнением сферы? Решение выполняет у доски учитель с помощью учащихся. 1. х 2 – 4 х + у 2 + z 2 = х 2 – 4 х + 4+ у 2 + z 2 = 4 (х – 2) 2 +у 2 + z 2 = С(2;0;0); R=2 г) У доски решает ученик. Дано: х 2 – 4 х + у 2 + z 2 = 0 Доказать: данное уравнение – уравнение сферы Найти: координаты центра С(х; у; z); R. Выполнить необходимые преобразования и привести к уравнению вида (х- х) 2 +(у- у) 2 +(z- z) 2 =R 2 1. х 2 – х +у у +z 2 –2z=2,5 +0,25 +2, (х 2 -х+0,25)+(у 2 +3 у+2,25)+(z 2 -2z+1) = = 2,5 + 0,25 + 2,25 +1 (х-0,5) 2 + (у+1,5) 2 + (z – 1) 2 = 6 2. С(0,5; -1,5; 1); R =

Учитель Ученик 10. Самостоятельная работа учащихся с целью проверки знаний, умений и навыков. Слайд 24. Используется раздаточный материал. Для учащихся быстро справившихся с самостоятельной работой предлагается дополнительная задача: Дополнительная задача (на карточке) Сфера задана уравнением Х 2 + у 2 + z у – 4z = 4 а) Найдите координаты центра и радиуса сферы б) Найти значение m, при котором т.А(0;m;2) и D(1;1;m-2) принадлежат данной сфере. -Решение задачи разбирается на уроке при наличии времени. 11. Подведение итогов. -Что нового вы узнали сегодня на уроке? -Что учились делать? 12. Постановка домашнего задания. Слайд 25.

1. Понятие сферы и её элементов 2. Уравнение сферы в заданной системе координат 3. Решение задач по данной теме

Социальная сфера - это система социальных отношений, т.е. отношений между группами людей, занимающими различное положение в социальной структуре общества. Политическая сфера – это система политических и правовых отношений, возникающих в обществе.

Духовная сфера – это система отношений между людьми, отражающая духовно- нравственную жизнь общества, представленную такими подсистемами, как культура, наука, религия, мораль, идеология, искусство.

4 сферы Земли - литосфера, гидросфера, биосфера и атмосфера. Небесная сфера.

Окружность-множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. т.О - центр окружности ОА – радиус окружности (обозначение: R; r ) СД – диаметр окружности ( d=2r) Дуга СД - полуокружность А С Д О

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О - центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r

Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой?

573(а) Точки А и В лежат на сфере с центром О, не принадлежащем АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М – середина отрезка АВ, то ОМ АВ.

574(а) Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, АВ = 40 см

ФИПИ, 2011 В9 Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем. Ответ: 512 (устно)

L М(х;у) х у L Сформулируйте определение линии L на плоскости Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у,z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности Х z Сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве Х у М(х;у;z)

М(х;у) х у х у z (х;у;z) С

Частные случаи 1. Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1. Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R

Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?

В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус

Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: 1.Дано: С(-2;8;1); R=11 2.Дано: А(3;-2;0); R=0,7 3.Дано: О(0;0;0); R=1 Проверяем ответы:

Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное, следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное, следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере

577 Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если А(-2;2;0); N(5;0;-1)

579 (а,г ) Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) г)

Самостоятельная работа по теме: «Сфера. Уравнение сферы». 1 вариант 1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: 2. Напишите уравнение сферы радиуса R = 7 с центром в т.А(2;0;-1) 3. Лежит ли т.А(-2;1;4) на сфере, заданной уравнением: 4. Точки А и В принадлежат сфере. Принадлежит ли сфере любая точка отрезка АВ? 5. Найти координаты центра и радиус сферы: Самостоятельная работа по теме: «Сфера. Уравнение сферы». 2 вариант 1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: 2. Напишите уравнение сферы радиуса R=4 с центром в т.А(-2;1;0) 3. Лежит ли т.А(5;-1;4) на сфере, заданной уравнением: 4. Точки А и В принадлежат сфере. Принадлежит ли сфере середина отрезка АВ? 5. Найти координаты центра и радиус сферы: х 2 + у у + z 2 = 0

Домашнее задание: 1. В тетради «Теория»: а)Выучить определение сферы и её элементов; уравнение сферы. б)Изобразить шар, сформулировать определение шара и его элементов. (Помощь в учебнике на стр.129 п.58) 2. Выполнить упражнения: 573(б); 576(в); 577(в) Дополнительно (по желанию): найти информацию о теле вращения – тор.