Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Правильный многоугольник Правильный треугольник Квадрат Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Какие из фигур являются правильными многоугольниками?

Сумма углов выпуклого n – угольника А1А1 А1А1 АnАn АnАn А4А4 А4А4 А3А3 А3А3 А2А2 А2А2 Проведём диагонали из одной точки. Количество треугольников ( n 2), сумма углов каждого равна 180 о. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n 2)· 180 о Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n 2)· 180 о А n-1 … …

Вписанная окружность Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. О

Описанная окружность Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружности. О

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника А1А1 А1А1 А n -1 А3А3 А3А3 А2А2 А2А2 АnАn АnАn … … А4А4 А4А4 Дано: А 1 А 2 А 3 …А n – правильный n -угольник Доказать: около А 1 А 2 А 3 …А n можно описать окружность; она – единственная Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. О

Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник А2А2 А2А2 А1А1 А1А1 А n -1 А3А3 А3А3 АnАn АnАn … … А4А4 А4А4 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Дано: А 1 А 2 А 3 …А n – правильный n-угольник Доказать: в А 1 А 2 А 3 …А n можно вписать окружность; она – единственная Доказать: в А 1 А 2 А 3 …А n можно вписать окружность; она – единственная О

О R r Следствие 2 Центр окружности описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности вписанной в тот же многоугольник. Следствие 2 Центр окружности описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности вписанной в тот же многоугольник. Следствие 1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. О – центр правильного многоугольника

О R r Формула площади правильного многоугольника А2А2 А2А2 А1А1 А1А1 А4А4 А4А4 А3А3 А3А3