« Числа Фибоначчи и золотое сечение"

Работа учащегося 8«А» класса лицея 1575 САО г. Москвы Циндика Романа Руководитель работы: Столбова Лидия Викторовна, учитель математики

Проблема: многие интересные факты и явления остаются за границами школьных учебников, и очень жаль, если окончив школу, человек так и не узнает какая связь между открытием Фибоначчи и строением Вселенной.

Гипотеза: все совершенное в мире построено по определенной программе, состоящей из чисел и бесконечного количества форм. Это можно узнать самостоятельно и поделиться открытием с другими.

Цель: убедиться на личном опыте в существовании золотой пропорции, создать подборку материалов о числах Фибоначчи и правиле «золотого сечения», их применении в разных областях: живописи, архитектуре, скульптуре, биологии, фотографии; показать применение чисел на практике с помощью вычислительного фокуса и нахождением площадей равносоставленных фигур; способствовать популяризации знаний о числах Фибоначчи и «золотом сечении» среди лицеистов и москвичей (выступления на классных часах, выставке «Маленькие и находчивые» с интерактивной игрой).

Основные выводы и результаты: В ходе работы мною была изучена литература. Опытным путем я убедился в наличии «золотой пропорции» в строении собственного тела. Провел анализ фотографий из личного альбома на наличие в них пропорции «золотого сечения». Собранный материал оформил в виде сборника рассказов о числах Фибоначчи, «золотом сечении» и правилах золотого сечения в фотографии, в который включил фокус с применением чисел Фибоначчи. Провел интерактивную игру на выставке «Маленькие и находчивые» для популяризации знаний о последовательности Фибоначчи.

Числа Фибоначчи или последовательность Фибоначчи -это числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, каждое из чисел является суммой двух предыдущих (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.).

Свойства последовательности Фибоначчи 1. Разделив меньшее число из этого ряда на соседнее большее число, мы всегда получим число приближенное равное 0,618. Например: 144 : 233 = 0,618; 377: 610 = 0,618; 610 : 987 = 0, А если разделить большее число из этого ряда на соседнее меньшее число, мы всегда получим число приближенно равное 1,618. Например: 144 : 89 = 1,618; 610 : 377 = 1,618; 987 : 610 = 1, ,618 – единственное число ( ϕ), прибавив к которому 1, получается обратное ему число: 0, = 1 : 0,618.

4. Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382. Например: 13: 34 = 0,382; 89 : 233 = 0, Отношение любого числа к предшествующему ему через одно приближается к 2,618. Например: 34: 13 = 2,615; 233 : 89 = 2,618.

6. Квадрат любого числа Фибоначчи равен произведению двух соседних (предшествующего и последующего) чисел плюс или минус 1. Например: 5 2 = 3 * 8 + 1, 8 2 = 5 * 13 – 1. Знаки "плюс" и "минус" чередуются при переходе от одного числа Фибоначчи к следующему. Квадраты чисел Фибоначчи с нечетными номерами (например, 2, 5, 13) на 1 больше произведения двух соседних чисел с четными номерами. Квадраты чисел Фибоначчи с четными номерами (например, 3, 8, 21) на 1 меньше произведения двух соседних чисел с нечетными номерами.

Золотое сечение Если разделить любой отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому было равно отношению меньшей части к большей, то получим сечение, которое называют золотым. При этом отношение меньшей части отрезка к большей, а большей ко всему отрезку приблизительно равно 0,618. В тоже время отношение большей части отрезка к меньшей, а всего отрезка к большей его части приблизительно равно 1,618. СВ : АС = АС : АВ =(5 - 1)/2 ~ 0,618 ( ϕ ) АС : СВ = АВ : АС = (5 + 1)/2 ~ 1,618 (Ф)

Величина (1 + 5)/2 - знаменитое золотое сечение. Это иррациональное число, приблизительно равное 1,618033…. (Ф) Числа 1, Ф, Ф 2, Ф 3, Ф 4, … образуют единственную последовательность Фибоначчи, обладающую свойством: квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению двух соседних членов. Величину (5 - 1)/2 называют золотым коэффициентом или коэффициентом золотого сечения ( ϕ ). Это иррациональное число, приблизительно равное 0,618. Ряд золотого сечения ϕ, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4, ϕ 5, ϕ 6, ϕ 7, ϕ 8 … ϕ = 1 / Ф, ϕ + 1 = Ф

Золотое сечение в космосе Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII века, с помощью ряда Фибоначчи нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако один факт противоречил открытому закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это уже после смерти Тициуса, в начале XIX века.

Золотое сечение в живой природе. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Золотое сечение в архитектуре, скульптуре, живописи, фотографии Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V века до н. э.). На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа ϕ = 0,618

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении. На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения.

Использование правила «золотого сечения» в фотографии Как сделать фотографию интересной, выразительной, притягивающей взгляды зрителей? Для создания фотографии недостаточно только снять изображение. Необходимо гармонично разместить объекты на снимке, наполнив его смыслом. Существуют разные способы и правила для создания гармоничной композиции. Иногда достаточно разместить объекты съемки в определенных местах. В других случаях для этого достаточно правильно выбрать точку съемки. Небольшое смещение положения фотоаппарата может внести существенные изменения в композицию. Для придания выразительности вашим фотографиям, применяйте правила построения композиции. Правило третей Делим кадр на три равные части по горизонтали и по вертикали. Получилась сетка, которую вы видите на изображении. Правило основано на том, что объекты, расположенные в местах пересечения линий, соответствуют наилучшему зрительному восприятию. Таким образом, значимо важный объект съемки следует располагать или вдоль линий или в точках пересечений этих линий:

Правило диагоналей Согласно правилу диагонали, важные элементы изображения должны быть установлены вдоль диагональных линий, показанных на примерах. Диагональная композиция с направлением от левого нижнего угла к правому верхнему спокойнее, чем построенная на противоположной, более динамичной диагонали. При съемке природных пейзажей наиболее интересными получаются те фотографии, на которых горизонт расположен по правилу третей. На какой из линий расположить горизонт? Это зависит от того, на чем вы хотите сконцентрировать внимание зрителя. В первом случае это красивый пейзаж на земле. Во втором случае делаем акцент на интересном, выразительном небе:

Математический фокус. Запишите друг под другом два любых числа. Затем сложите их и запишите получившееся число. Теперь складываем последние два числа, получаем еще число и записываем его… Процесс продолжаем до тех пор, пока в вертикальном столбце не окажется десять чисел, например, 2 и 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, 280. А теперь я быстро подсчитаю сумму. В приведенном примере она равна 726.

Фокус с равносоставленными фигурами. Найдите площади равносоставленных фигур.

Числа Фибоначчи в бизнесе. Допустим, вы купили ящик апельсинов за 1 доллар и продали за 2 доллара. Получили прибыль 100%. Как действовать дальше? Правильно будет, в соответствии с законом золотого сечения, купить еще один ящик, продать с теми же 100% прибыли, и только потом купить 2 ящика. То есть действуем по указанному принципу: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, 6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811… Как видим, всего за 32 цикла мы достигли прибыли свыше миллиона! И при этом у нас еще и всегда оставались "лишние" деньги! Пример схематичный, его можно адаптировать к прибыли и в 20%, и к любой другой. Используйте в своих расчетах число 1,618 – коэффициент, по которому следует увеличивать финансы, и вам будет сопутствовать успех!

Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.

Любую деятельность разумно соотносить с принципом золотого сечения. Это самый надежный и безопасный путь. Главное, определиться с единицей измерения. Это может быть время, этапы в работе и т.д. и т.п. Обогащайтесь также поэтапно, согласуя свои шаги с законами природы.