Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика четверг, 23 июля 2015 г.

Тема 3. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 3.1 Свободные затухающие механические калебания 3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 3.3 Вынужденные механические калебания 3.4 Автокалебания Сегодня: четверг, 23 июля 2015 г.

3.1 Свободные затухающие механические калебания Все реальные калебания являются затухающими. Энергия механических калебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда калебаний уменьшается. Сила трения (или сопротивления) где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения

Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных калебаний вдоль оси x где kx – возвращающая сила, – сила трения. Введем обозначения ; (3.1.1) Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при) )

(3.1.2) Найдем частоту калебаний ω. ;; условный период Решение уравнения (3.1.1) имеет вид

3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания где β – коэффициент затухания Рисунок 1

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т. ; откуда Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, τ – время релаксации.

Когда сопротивление становится равным критическому это круговая частота обращается в нуль ( ), ( ), калебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим: Рисунок 2

Отличия в следующем. При калебаниях, тело, возвращающееся в положении равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.

3.3 Вынужденные механические калебания Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила: – основное уравнение калебательного процесса, при вынужденных калебаниях (3.3.1)

Уравнение установившихся вынужденных калебаний (3.3.2) Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных калебаний и вынуждающей силой. – амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы Введем обозначения:

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов: Из рисунка 3 видно, что Рисунок 3

(3.3.4) Проанализируем выражение (3.3.4). 1)(частота вынуждающей силы равна нулю) – статическая амплитуда, калебания не совершаются. 2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ), амплитуда растет и при, амплитуда резко возрастает (). Это явление называется – резонанс. При дальнейшем увеличении () амплитуда опять уменьшается. (Рисунок 4 ) 3) – резонансная частота

- явление резонанса – резонансная частота Рисунок 4

– резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных калебаний при приближении частоты вынуждающей силы к называется резонансом. Для консервативной системы, т.е. для диссипативной несколько меньше собственной круговой частоты. С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

3.4 Автокалебания Наблюдая калебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие калебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. Классическим примером автокалебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.

Принцип работы всех автокалебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рисунке 5 Рисунок 5 Периодическим поступлением энергии в калебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама калебательная система посредством обратной связи.

В конструкции часового механизма (рисунок 6) присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в калебание самим маятником часов. Рисунок 6 Важно отметить, что любая автокалебательная система нелинейная.

Колебания механические электромагнитные Дифференциаль- ное уравнение Масса Индуктивность катушки Коэффициент жесткости Обратная величина емкости Смещение Заряд Скорость Сила тока Потенциальная энергия Энергия электрич. поля Кинетическая энергия Энергия магнитного поля

Собств. частота пружинного маятника Собств. частота калебательного контура Период калебаний Период калеб. Формула Томсона Циклич. частота затухающих калебаний Коэффициент затухания Логарифмич. декремент затухания Логарифмич. декремент затухания Добротность пружинного маятника Добротность калебательного контура Резонансная частота