Решение задач с практическим содержанием Реферат по геометрии Подготовил Деркачев Георгий Подготовил Деркачев Георгий Г. Реутов, школа 5.кл 9 «Г» Г. Реутов, школа 5.кл 9 «Г» учитель: Кичатова Ольга Николаевна учитель: Кичатова Ольга Николаевна

вступление Зная принципы решения теоретических алгебраических и геометрических задач, можно применить их для достижения практически необходимых в жизни человека вещей. Начиная от постройки игрушечного домика и кончая моделированием и постройкой всевозможных аппаратов. С помощью этих знаний можно рассчитать минимальное или максимальное количество ресурсов, потребующихся для выполнения поставленной задачи. С помощью этого можно определить практические площади, объёмы, поправки, расстояния и т.д. Этот далеко не полный список показывает, как необходимо знание теоретических принципов на практике, и доказывает, как важно знание математики в жизни. Зная принципы решения теоретических алгебраических и геометрических задач, можно применить их для достижения практически необходимых в жизни человека вещей. Начиная от постройки игрушечного домика и кончая моделированием и постройкой всевозможных аппаратов. С помощью этих знаний можно рассчитать минимальное или максимальное количество ресурсов, потребующихся для выполнения поставленной задачи. С помощью этого можно определить практические площади, объёмы, поправки, расстояния и т.д. Этот далеко не полный список показывает, как необходимо знание теоретических принципов на практике, и доказывает, как важно знание математики в жизни.

Задача 1. а) В залитых водой колодцах расстояние от верхней кромки до дна производится с помощью деревянного шеста-щупа с делениями. При этом вместо расстояния АВ до дна колодца находят промером расстояние AO. Возникает задача: найти поправку измерения глубины колодца CD,радиус дна известен и равен m: Решение: CD=CO-OD=AO-AB=a-AB по данным AD=ВО=m, AO=a,. Сначала получим равенство, из которого можно найти поправкуCD: По теореме об отрезках пересекающихся хорд: ADDP=CDDK. ADO=ADP по гипотенузе и общему катету,AD=DP, тогда 1)AD²=CD·(2a-CD). 2)для получения приближенного значения CD, воспользуемся тем, что 2a-CD~2a Тогда равенство (1) обратится в приближенное равенство AD²~2a·CD, Откуда получим: CD~m²/2a Ответ: CD~m²/2a

Задача 1 б) Найдём количество дней, на которые хватит полного колодца для семьи из 4 человек, при условии того, что суточная норма потребления воды каждого члена-10 литров, если известны радиусы дна и верхней кромки и высота колодца. Решение: путем некоторых преобразований найдем объём колодца: Разделим колодец на 2 фигуры: усечённый конус и цилиндр, объемы, которых соответственно равны: V 2 = (π/3) ·h 2 · ( r 2 2 +r 3 2 +r 2 ·r 3 ), и V 1 =π·r 1 2 ·h 1 V об =V 1 +V 2 h 2 =d²-(r 2 - r 3 )²,где d-длина скоса; h 1 =h- h 2 Суточное потребление воды семьёй равняется 40 литров (10·4). Тогда количество дней будет вычисляться по формуле: V/40, то есть ((π/3) ·h 2 · ( r 2 2 +r 3 2 +r 2 ·r 3 ) + π·r 1 2 ·h 1 )/40= n, где n- количество дней. Ответ: ((π/3) ·h 2 · ( r 2 2 +r 3 2 +r 2 ·r 3 ) + π·r 1 2 ·h 1 )/40= n

Задача 2. А) Требуется найти длину водопроводной траншеи, если известно, что основания траншеи соответственно равны a и b, высота h, а объём находящейся в ней воды равен v. Решение; Поперечное сечение траншеи есть равнобедренная трапеция. Дно и боковые стороны- прямоугольники. В данном случае траншея свежая, поэтому дно и стенки ещё не размыты. Будем считать, что траншея есть призма, высота которой L, а основание – поперечное сечение траншеи. Объём траншеи определяется по формуле V=F·L, где F-площадь поперечного сечения; L-длина траншеи. Тогда формула примет вид V= ((a+b) ·h/2) ·L. отсюда L=V/ ((a+b) ·h/2)=2V/ (a+b) ·h. Ответ:: L=2V/ (a+b) ·h Б)Вычислить объём земли, выкопанной из данной траншеи. Решение: все мы знаем, что если выкопать яму и засыпать землю обратно, яма заполнится не целиком. Это расхождение объёмов ямы и песка составляет примерно 1/10 от объёма ямы, чем мы непременно воспользуемся. V тр = ((a+b) ·h/2) ·L, V пес = ((a+b) ·h/2) ·L-0.1· ((a+b) ·h/2) ·L То есть V пес =0.45·(a+b)·h·L. Ответ: V пес =0.45 · (a+b) ·h·L

Задача 3 Определить расстояние от наблюдателя до другого берега реки (ширину реки). РЕШЕНИЕ: чтобы определить ширину реки отмерим от наблюдателя расстояние HC=d вдоль берега; отрезок HP=g, являющийся шириной реки и перпендикулярный к d. РассмотримHPC.Также нам известен угол С(измеряем например с помощью компаса). Тогда ширина g будет равна по определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника: g/d=tgС, тогда g=d·tgС. ОТВЕТ: g=d·tgС

Задача 4 Самолет радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Z. С судна определяют угол возвышения самолёта, он равен α. Вычислить расстояние судна от косяка рыбы. РЕШЕНИЕ: α= α 1 (по свойству параллельных прямых: накрест лежащие углы– равны). По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника: d/Z=ctgα, тогда d=Z·ctgα. ОТВЕТ: d=Z·ctgα

Задача 5 С маяка, высота которого Н=150 м, определяют расстояние до проходящего мимо парохода. Угол понижения α=9°. Вычислить искомое расстояние. РЕШЕНИЕ: Для того чтобы найти расстояние L, воспользуемся определением тангенса острого угла прямоугольного треугольгика. Тогда tgα=H/L, наша задача найти L: L=H/tgα. Находим: L=150/tg9°= 150/0.1584=947 м. ОТВЕТ: расстояние до корабля 947 метров.

Задача 6 Найти высоту здания, если в результате измерения угломером известен угол возвышения Угол В, высота угломера h, расстояние от угломера до здания а. РЕШЕНИЕ: высота здания d состоит из (d-h)+h. тогда найдём (d-h): tgB ·a Тогда высота d будет равна: ( tgB ·a)+h ОТВЕТ: высота здания d равна (tgB ·a)+h

Задача 7 Железнодорожная насыпь имеет сверху ширину b=6м, а снизу d=12м. боковые стороны наклонены под углом a=35°. Вычислить высоту насыпи. Решение: Насыпь представляет собой равнобедренную трапецию. Опустим перпендикуляры h, к нижнему основанию. Далее рассмотрим два прямоугольных треугольника: они равны по острому углу и гипотенузе. Тогда d- b=2f,=>f=(d-b)/2. далее найдём h, зная тригонометрические функции. Таким образом, h=tgα·f. подставив заданные значения в формулы, находим h=tg35·((12-6)/2)=0,7·3= 2.1м. ОТВЕТ: высота железнодорожной насыпи равна 2,1м.

Задача 8 Две водопроводные трубы с диаметрами d нужно заменить одной большой трубой, но с той же пропускной способностью. Рассчитать диаметр D новой трубы. РЕШЕНИЕ: так как новая труба имеет такую же пропускную способность, как и две первые, то, следовательно, она имеет такую же площадь сечения, как у двух первых: S=2s. Мы знаем, что s=πr², тогда 2s=2(πr²), или 2s=2(πd²/4) =πd²/2, S=πD²/4, тогда πd²/2=πD²/4, или d²/2=D²/4, отсюда следует, что D²=4d²/2=2d², а D=d 2. ОТВЕТ: D=d 2

Задача 9 Запроектирована водонапорная башня с металлическим баком на 100 м³. диаметр бака 5,5 м. найти высоту бака. Решение: в данном баке нам дан диаметр 2r,а также его объём v=πr²h. Наша задача нахождение высоты бака. Найдём её по формуле: h=v/πr². Подставив в формулу известные величины, найдем: h=100/ ((5, 5/2)²·3.14)= =100/23,74625~4,2 метра ОТВЕТ: высота бака 4,2 метра

В работе использовалась следующая литература: Тригонометрия –дополнительный материал к курсу геометрии 9, 10 классов, издательство «Просвещение», 1972, П.В.Стратилатов. Сборник задач по математике с практическим содержанием, издательство «Высшая школа», 1968, Л. И.Гуткин. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы, издательство «Просвещение», 1992, В.М.Брадис. Страницы русской истории на уроках математики (нетрадиционный задачник), издательство «Педагогика-пресс», 1994, С.С.Перли, Б.С.Перли. Учебник по геометрии для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений, издательство «Просвещение», 1998, Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев.