Tema lecţiei: Inecuaţii logaritmice clasa X

Să ne amintim: Noţiunea de logaritm Proprietăţile logaritmilor Noţiunea de inecuaţie Cum se rezolvă o inecuaţie Inecuaţii logaritmice

Vom numi logaritmul numărului b în baza a, a, a1, numărul real c pentru care log a b=c. recapitulăm

Proprietăţile logaritmilor: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) recapitulăm recapitulăm

Vom numi inecuaţie inegalitatea ce conţine o necunoscută. recapitulăm

Pentru a rezolva o inecuaţie este necesar mai întîi de aflat domeniul valorilor admisibile. Mulţimea valorilor necunoscutei pentru care au sens (există) toate expresiile inecuaţiei se numeşte domeniul valorilor admisibile(DVA). recapitulămrecapitulăm

Definiţie: Vom numi inecuaţie logaritmică – inecuaţia în care necunoscuta sau expresia care conţine necunoscuta, apar ca bază şi/sau ca argument al unor logaritmi. continuare continuare

Exemplu: Inecuaţiile: log 5 x<2 log 0,2 (3x-1) 0 log x+1 (x-3)>0 lg 2 x-lgx-6 0 sînt inecuaţii logaritmice.

La rezolvarea inecuaţiilor logaritmice vom ţine cont de DVA şi de afirmaţiile fundamentale referitoare la echivalenţa inecuaţiilor. Vom analiza cele mai frecvent întîlnite tipuri de inecuaţii logaritmice.

Inecuaţii logaritmice de tipul: log a f(x)>log a g(x),unde a1, a. Teoremă: Dacă a>1, atunci inecuaţia: log a f(x)>log a g(x) (1) este echivalentă cu următorul sistemul: Dacă 0<a<1, atunci inecuaţia (1) este echivalentă cu sistemul:.

Exemplu: Să se rezolve în R inecuaţia: log 2 (3x-1)>log 2 (5-x). Rezolvare: Observăm că baza logaritmului este: a=2, adică a>1, deci inecuaţia dată va fi echivalentă cu următorul sistem: Răspuns: S=(1,5;5)

Inecuaţii logaritmice de tipul: log h(x) f(x)>log h(x) g(x) Teoremă: Dacă h(x)>1, atunci inecuaţia: log h(x) f(x)>log h(x) g(x) (1) este echivalentă cu următorul sistemul: Dacă 0<h(x)<1, atunci inecuaţia (1) este echivalentă cu sistemul:.

Exemplu: Să se rezolve în R inecuaţia: log x+1 (2x+1)log x+1 (x-1) Rezolvare: Observăm că baza logaritmului este h(x)=x+1, deoarece nu cunoaştem valoarea lui x, vom analiza ambele cazuri, adică obţinem că: Răspuns: S=(1;+ )

Metode de rezolvare a inecuaţiilor logaritmice: Cele mai simple inecuaţii logaritmice: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: log 5 (3x+1)<1 Rezolvare: DVA : 3x-1>0 3x>1 x>1/3 log 5 (3x-1)<1 log 5 (3x-1)<log 5 5 3x-1<5 3x<6 x<2 Deoarece în DVA am obţinut că x>1/3, avem: x (1/3,2) Răspuns: S=(1/3,2)

Metoda aducerii la inecuaţii logaritmice: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: lg 2 x-lgx-6 0 Rezolvare: DVA : x>0 Vom nota lgx=t, astfel obţinem: t 2 -t-6 0 (t+2)(t-3) 0 t -2 şi t3 Trecînd înapoi la x, avem: lgx -2 lgx lg10 -2 x 0,01 lgx 3 lgx lg10 3 x 1000 Ţinînd cont de DVA, obţinem: x (0;0,01) (1000;+ ) Răspuns: S=(0;0,01) (1000;+ )

Metoda aducerii la aceeaşi bază: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: Rezolvare: Notînd prin log 5 x=t, avem: Trecînd la x, obţinem: Răspuns: S=( 5,+ )

Metoda potenţierii: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: Rezolvare: DVA : Ţinînd cont de DVA, obţinem: Răspuns: S=(-2,3)

Metoda logaritmării: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: Rezolvare: DVA : Răspuns: S=(0,1/10) (1,+ )

Inecuaţii logaritmice cu parametru: Exemplu: Să se rezolve inecuaţia: Rezolvare: Răspuns: S=

Temă pentru acasă: De rezolvat exerciţiile: 2,3,5,7(b,c); pag.143 Suplimentar – exerciţiul 8