Aplicaţiile integralelor definite la calculul ariilor figurilor plane Autor: Anţalovschi Marina, gr. 510 Profesor: Zastînceanu Liubov

Fiind dată o funcţie continuă se pune problema aflării ariei regiunii delimitate de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi cu alte cuvinte aflarea ariei subgraficului funcţiei. Studiem următoarele cazuri: Dacă graficul lui este situat deasupra axei (figura 1), şi atunci 1. Teoremă. Dacă este o funcţie continuă pozitivă este subgraficul lui atunci mulţimea are arie şi iar

Dacă graficul lui este situat sub axa (figura 2), şi atunci 2. 3.Dacă sunt funcţii continue astfel încât atunci mulţimea cuprinsă între graficele funcţiilor (figura 3) şi dreptele de ecuaţii şi are arie şi

Soluţie. Pentru a determina aria domeniului mărginit de dreptele date vom parcurge următoarele etape: 1. Construim axele de coordonate; 2. Construim dreapta dată de ecuaţia 3. Construim dreapta dată de ecuaţia 5. Determinăm domeniul mărginit de dreptele date şi Exemplu 1. Determinaţi aria domeniului mărginit de dreptele şi axa Ox. 4. Construim dreapta dată de ecuaţia 6. Calculăm aria domeniului obţinut 5 10 x y 3 axa Ox;

Soluţie. Pentru a determina aria domeniului mărginit de curbele date vom parcurge următoarele etape: x y 1. Construim axele de coordonate; 2. Construim parabola dată de ecuaţia 3. Construim dreapta dată de ecuaţia 4. Determinăm domeniul mărginit de curbele date; 5. Determinăm punctele de intersecţie a parabolei cu dreapta; pentru aceasta rezolvăm sistemul de ecuaţii Exemplu 2. Determinaţi aria domeniului mărginit superior de parabola şi inferior de dreapta

7. Calculăm aria domeniului obţinut x y Punctele de intersecţie ale celor două curbe sunt A( 1;1) şi B(2; 2) 6. Reprezentăm grafic punctele date. A( 1;1) B(2; 2)

Soluţie. Integrăm în raport cu y. 1. Construim axele de coordonate; 4. Determinăm domeniul mărginit de curbele date; 5. Determinăm punctele de intersecţie a parabolei cu dreapta; pentru aceasta rezolvăm sistemul de ecuaţii 2. Construim dreapta dată de ecuaţia Exemplu 3. Determinaţi aria domeniului mărginit de dreapta de parabola şi de axa Ox. 3. Construim parabola dată de ecuaţia y 12 x Punctele de intersecţie a celor două curbe sunt (4;2) şi (1; 1), evidenţiem pe grafic numai punctul (4;2). 7. Calculăm aria figurii obţinute

x y 0 y x0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 c Graficul funcţiei 1) parabolă cu ramurile în sus 2) parabolă cu ramurile în jos 3) vârful parabolei, 4) axa de simetrie 5) axa de simetrie 6) Dacăparabola nu intersectează Ox. Dacăparabola intersectează Ox într-un punct ce coincide cu vârful. Dacăparabola intersectează axa Ox în 2 puncte şi

Exerciţii propuse Calculaţi aria domeniului mărginit de curbele: Să se determine aria figurii delimitate de axa Ox şi graficul funcţiei Să se determine aria figurii delimitate de curbele