1 Тема 4 Класична лінійна багатофакторна модель. Кафера інформатики та компютерних технологій доцент Бесклінська О.П.

2 Зміст: 1. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі 2. Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії 3. Приклад параметризації та дослідження багатофакторної регресійної моделі

3 1. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі Метод усіх можливих регресій Метод виключень Покроковий регресійний метод 1 2 3

4 2. Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель

5 Для дослідження моделі слід виконати такі кроки. 1. За даними спостережень оцінити параметри а 1, а 2,..., а т 2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити: а) залишки моделі розбіжності між спостереженими та розрахунковими значеннями залежної змінної, і = 1, 2,..., п а) залишки моделі розбіжності між спостереженими та розрахунковими значеннями залежної змінної, і = 1, 2,..., п б) відносну похибку залишків та її середнє значення 1 2

6 в) залишкову дисперсію г) коефіцієнт детермінації д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції

7 3.Перевірити статистичну значущість отриманих результатів: 3.Перевірити статистичну значущість отриманих результатів: а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою F-критерію Фішера перевірити гіпотезу Н 0 : проти альтернативної Н А : існує хоча б один коефіцієнт 3

8 б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу Н 0 : R = 0 б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу Н 0 : R = 0 в) перевірити істотність коефіцієнтів регресії: за допомогою t-критерію Стьюдента перевірити гіпотезу Н 0 : для всіх j = 1, 2,..., т проти відповідних альтернативних гіпотез Н А : для всіх j = 1, 2,..., т;

9 4.Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності 4.Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності 5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості α. 5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості α. 6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії. 6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії

10 7. Обчислити прогнозні значення у р за значеннями, що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу. 7. Обчислити прогнозні значення у р за значеннями, що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу. 7

11 3. Приклад параметризації та дослідження багатофакторної регресійної моделі

12 Прибуток підприємства у(i) Прибуток підприємства у(i) Інвестиції х 1 (i) Інвестиції х 1 (i) Витрати на рекламу х 2 (і) Витрати на рекламу х 2 (і) Заробітна плата х 3 (і) Заробітна плата х 3 (і)

13 Припустимо, що між економічним показником у і факторами х 1, х 2, х 3 існує лінійний зв'язок. параметри моделі, які потрібно оцінити

14 Вихідні дані в умовних одиницях Номер спост. х 1 (і)х 2 (і)х 3 (і)у(і) 117,375,281,4215,7 218,246,471,5817,34 322,476,981,9821,57 418,477,052,0433,5 516,827,942,3832, ,6718,478,5862, ,8719,649,4777,58

15 Знайдемо МНК-оцінки параметрів моделі. 1 х 1 (і)х 2 (і)х 3 (і)

16 Обчислимо оцінки регресійних коефіцієнтів за формулою де X T транспонована матриця X

17 Виконавши обчислення, одержимо коефіцієнти моделі: Функція регресії з урахуванням знайдених оцінок коефіцієнтів моделі набуває вигляду a0a0 a1a1 a2a2 a3a3

18 Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислимо: 2 а) Залишки б) Відносну похибку розрахункових значень регресії: середнє значення відносної похибки У нас

19 в) Обчислимо середньоквадратичну помилку дисперсії збурень У нас

20 г) Перевіримо тісноту загального зв'язку (впливу) незалежних змінних на залежну змінну. Для цього треба обчислити коефіцієнт детермінації за формулою У нас Висновок: чим ближчий він до одиниці, тим більша варіація залежної змінної y визначається варіацією незалежної змінної x (є тісний зв'язок між залежною та незалежними змінними).

21 д) Перевіримо на значущість вибіркового коефіцієнта кореляції. Для цього обчислимо - коефіцієнт кореляції (характеризує тісноту лінійного зв'язку всіх незалежних факторів x i із залежною змінною y ). У нас

22 Перевіримо статистичну значущість отриманих результатів. 3 а) Обчислимо F-статистику за формулою Знайти табличне значення: і порівняти його з обчисленою F – статистикою: якщо то гіпотеза відхиляється, інакше приймається.

23 Маємо F експ =39,14827, табличне значення: У нас Порівняємо його з обчисленою F-статистикою. Оскільки нульова гіпотеза відхиляється, тобто коефіцієнти регресії є значущими.

24 б) Обчислимо t-статистику за формулою Якщо де відповідне табличне значення t-розподілу з (n-m-1) ступенями свободи, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежними змінними моделі.

25 Маємо t=37, Відповідне табличне значення У нас Оскільки можна зробити висновок про достовірність коефіцієнта кореляції, який характеризує тісноту зв'язку між залежною та незалежними змінними моделі.

26 Для вибраного рівня значущості і відповідного ступеня вільності k=n-т-1 записати межі надійності для множинного коефіцієнта кореляції R : (R- R; R+ R), де

27 Маємо У нас отже

28 в) Перевіримо значущість окремих коефіцієнтів регресії. Визначимо t-статистику за формулою де - діагональний елемент матриці, - стандартизована помилка оцінки параметра моделі.

29 Значення t j -критерію порівнюється з табличними при k = n-m-1 ступенях свободи і рівні значущості : якщо |t j | >t /2,k., то відповідна оцінка параметра регресійної моделі є значуща; інакше приймаємо гіпотезу про рівність a i нулю

30 У нас табличне значення Оскільки відповідно оцінки є значущими а оцінки не є значущими

31 Експрес контроль Знайти значення критерію Фішера для парної регресії, якщо n=10+k, R 2 =0,9t, де k- номер по списку, t- номер групи (1,2,3,4,5,6,7)

32 Обчислимо коефіцієнти еластичності за формулою 4 коефіцієнт еластичності є показником впливу зміни питомої ваги xi xi на y у припущенні, що вплив інших факторів відсутній: показує, що регресанд y зміниться на %, якщо фактор x зміниться на 1%

33 α 1 = -0,13724; α 2 = -0,6997; α 3 = 1,23097 У нас У нашому випадку він показує, що прибуток підприємства зменшиться на 0,14 %, %, якщо інвестиції зростуть на 1%, прибуток підприємства зменшиться на 0,7 %, %, якщо витрати на рекламу зростуть на 1 %, прибуток підприємства збільшиться на 1,24 %, %, якщо заробітна плата зросте на 1 %.

34 Загальна еластичність Y від усіх факторів х i дорівнює: Цей показник свідчить, що на % зміниться y, якщо одночасно збільшити на 1% всі фактори x i ) α=0, У нас

35 Обчислимо довірчі інтервали для математичного сподівання і для кожного спостереження 5

36 де незміщена оцінка дисперсії залишків: У нас Виконавши необхідні розрахунки, отримаємо довірчі зони регресії: (23,430; 24,904) (22,594; 22,604) (24,730; 25,041) (62,887; 63,558) (68,229; 68,712) (71,961;73,556)

37 Побудуємо довірчі інтервали для параметрів регресії. 6 Довірчий інтервал при рівні надійності (1- ) є інтервал з випадково залежними межами і накриває істинне значення коефіцієнта регресії aj aj з рівнем довіри (1- ).

38 Маємо У нас Виконавши необхідні розрахунки, отримаємо:

39 Обчислимо прогнозні значення і знайдемо межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозних значень і межі довірчих інтервалів для математичного сподівання (точковий та інтервальний прогнози). 7

40 а) для обчислення прогнозних значень у рівняння тобто підставимо задані значення

41 Підставимо У нас одержимо

42 б) знайдемо межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою:

43 У нас тоді інтервальний прогноз індивідуального значення

44 в) знайдемо межі довірчих інтервалів для математичного сподівання значення y pi за формулою:

45 У нас тоді довірчий інтервал для математичного сподівання.