МБОУ «Основная общеобразовательная школа 7» Разложение многочлена на множители Выполнили: ученики 7 класса Албутова Ксения, Фомин Кирилл, Ермолин Алексей Проверила: учитель математики Мусатова Т. И. Анжеро-Судженск 2014

Что называют разложением многочлена на множители? Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких множителей – многочленов или одночленов, называют разложением многочлена на множители. Основными способами разложения многочлена на множители являются: способ вынесение общего множителя за скобки, способ группировки и способ использование формул сокращенного умножения. Разложить многочлен на множители можно способом выделения полного квадрата, а также методом неопределенных коэффициентов.

Способы разложения на множители Вынесение общего множителя за скобки Способ выделения полного квадрата Метод неопределенных коэффициентов Способ группировки С помощью формул сокращенного умножения

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов 1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем Вынесение общего множителя за скобки

2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. 3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который выносят за скобки.

Разложить на множители: 7 х 2 у 3 – 14 ку х 4 у 4 Воспользуемся сформулированным алгоритмом. НОД(7,14,21)=7 Таким образом, общий множитель 7 ку 3 Получим: 7 ку 3 ( х – 2 у х 3 у ).

Способ группировки Рассмотрим пример: разложите на множители многочлен х 3 +х 2 у– 4 у – 4 х = (х 2 +х 2 у) – (4 х+4 у) = = х 2 (х + у) – 4(х + у) = х + у)(х 2 – 4) = (х + у)(х 2 – 4) =(х + у)(х – 2)(х + 2)

bx 2 + 2b 2 – b 3 – 2x 2 =(bx 2 – b 3 ) – (2x 2 –2b 2 )= = b(x 2 – b 2 ) –2(x 2 – b 2 ) =(b – 2)(x 2 – b 2 ) = (b – 2)(x – b)(x + b) Способ группировки

Способ выделения полного квадрата Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных метод разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадрата.

Он базируется на формулах квадрата суммы квадрата разности: (а + b) 2 = а аb + b 2 (а – b) 2 = а аb + b 2.

х 2 – 10 х + 21=х 2 – 2. x Получаем х 2 – 2. x – Свернем полный квадрат и приведем подобные члены: х x – = ( х x ) = =( х – 5 ) 2 – 4. Применяя формулу разности квадратов, получим ( х – 5 ) 2 – 4 = ( х – ) ( х – 5 – 2 ) = ( х – 3 )( х – 7).

Метод неопределенных коэффициентов Рассмотрим пример 3 х 3 – х 2 3 х х 3 – х 2 -3 х + 1 = (х-р )(ах 2 + bх + с) = ах 2 + (с – bр )х – рс. а = 3, b – ар = -1, с – bр = -3, -рс = 1. Решая эту систему, получаем: а = 3, р = -1, b = 2, с = -1. Тогда получаем 3 х 3 - х х + 1 = (х – 1 )(3 х х – 1)

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомните эти формулы: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b);a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2.

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; Последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений. a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2.

Воспользовались формулой суммы кубов. а b 3 =(a 2 ) 3 + (3b) 3 = = (a 2 + 3b)(a 4 – 3a 2 b + 9b 2 )

Х 2 4 0,8 ку + 0,16 у 2 Х 2 2 = 2 ·2 · 1 2 х · 0,4 у + (0,4 у) 2 = Х2Х2 0,4 у 2 = Воспользовались формулой квадрата разности.

Воспользовались формулой разности квадратов. х 6 – 4 а 4 = = (х 3 ) 2 – (2 а 2 ) 2 = (х 3 – 2 а 2 ) (х а 2 )

До новых встреч!

Спасибо за внимание!!!