Урок алгебры в 10 классе Тема: Теоремы о корнях квадратного уравнения Цель: Формирование умений формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения. Учебная задача: научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения, применять полученные теоремы для решения задач с параметрами. Развивающие задачи: - развивать творческую сторону мышления; - учить осуществлять исследовательскую деятельность. Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

План занятия Информационный ввод-2 мин. Актуализация ЗУН - 3 мин. Исследовательская работа в группах - 15 мин. Решение задач с параметром - 12 мин. Решение задач с параметром с помощью компьютера - 5 мин. Итог занятия - 2 мин.

Ход занятия 1. Информационный ввод Учитель сообщает тему занятия, цель. На предыдущем занятии мы с вами научились использовать теорему Виета для решения задач с параметрами. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметрами. Тема нашего занятия «Теоремы о корнях квадратного уравнения».

2. Актуализация ЗУН Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадрат­ных уравнениях. На мониторах запись f(x) =Ах 2 + Вх + С. Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена? Дети отвечают: если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх, если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и со­ответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное, если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс, если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс, абсцисса вершины параболы равна –В/2А

3. Исследовательская работа в группах Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но количе­ство таких теорем практически необозримо. Нам остается только одно - научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного уравнения, которые мы с вами только что по­вторили, но и умение мыслить одновременно на двух языках - ал­ гебраическом и геометрическом. На доске сформулированы задачи в общем виде:

При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)х 2 + В(а)х + С(а) =0 больше заданного числа z ? (x 1, x 2 > z ) При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)х 2 + В(а)х + С(а) =0 меньше заданного числа z ? (x 1, x 2 < z ) При каких значениях параметра а заданное число z лежит между корнями квадратного уравнения А(а)х 2 + В(а)х + С(а)=0? (x 1 < z < x 2 )

Теорема 1 Оба корня квадратного уравнения А(а)х 2+ В(а)х + С(а) =0 больше заданного числа z если (и только если) имеет место система Af(z)>0, D>0 -B/2A> z

Теорема 2 Оба корня квадратного уравнения А(а)х 2+ В(а)х + С(а) =0 меньше заданного числа z если (и только если) имеет место система Af(z)>0, D>0 -B/2A< z

Теорема 3 Заданное число z лежит между корнями квадратного уравнения А(а)х 2+ В(а)х + С(а) =0 если (и только если) имеет место система Af(z)<0, D>0

Вопрос каждому представителю групп: Обоснуйте свой ответ. Объясните, почему ни одно из неравенств нельзя удалить из вашей системы. Учащиеся приводят противоречащие примеры. Обсуждая третью теорему, учащиеся замечают, что требование D > 0 вовсе необязательно. Итак, вы научились формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения и обосновывать эти теоремы.

4. Решение задач с параметром Предлагаю вам ряд задач с параметрами При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х 2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2? При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (2 - а)х ах + 2 а = 0 больше 1/2? Найти все значения параметра а, у которых оба корня квадрат­ного уравнения х ах +(1 - 2 а + 4 а) = 0 меньше -1. Определите, каким методом решать каждую из предлагаемых задач с параметрами. Учащиеся решают задачи.

5. Решение задач с параметром с помощью компьютера Составьте собственные задачи с параметром, которые решаются с помощью составленных вами сегодня теорем. Запишите эти уравнения в тетрадь и решите их. 6. Итог занятия

Приложения

Примеры задач