Определенный интеграл И некоторые методы приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ (методы трапеций, средних прямоугольников и метод Симсона)

Понятие определенного интеграла Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). Построение понятия определенного интеграла от этой функции по отрезку [a,b] состоит из трех этапов. 1. Разбиение отрезка [a,b] на части. Разобьем отрезок [a, b] на части точками так что длина i-го «кусочка» максимальная из этих длин.

2. Построение интегральной суммы. Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что ( «средняя точка»), и составим величину, которая называется интегральной суммой Геометрический смысл интегральной суммы

3. Предельный переход. Найдем теперь предел Определение. Если существует и он не зависит а) от способа разбиения отрезка на части б) от способа выбора средней точки, то говорят, что есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b]. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], a и b - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

Почему удобно использовать ЭВМ для расчетов ОИ ? При решении многих задач необходимо быстро получить достаточно точное значение определенного интеграла, что не всегда удобно сделать по формуле Ньютона- Лейбница. При решении многих задач необходимо быстро получить достаточно точное значение определенного интеграла, что не всегда удобно сделать по формуле Ньютона- Лейбница. ЭВМ также быстро находит значение интегралов, для которых первообразная непрерывной функции f(x) не выражается через элементарные функции. В этом случае использование формулы Ньютона-Лейбница весьма затруднительно. ЭВМ также быстро находит значение интегралов, для которых первообразная непрерывной функции f(x) не выражается через элементарные функции. В этом случае использование формулы Ньютона-Лейбница весьма затруднительно.

Известно, что определенный интеграл функции Типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=f(x), x=a, x=b и y=0 Криволинейная трапеция. То есть, вычислив площадь криволинейной трапеции, мы получим значение определенного интеграла. На этом основаны методы вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ.

Некоторые методы вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ Метод трапеций Метод трапеций Метод средних прямоугольников Метод средних прямоугольников Метод Симпсона Метод Симпсона Метод Монте-Карло Метод Монте-Карло и другие…

f(x) x a x1 x2 x3 x4... b I= x n+1 -x n =h x n – узел {x n y – расчетная сетка f(x n )=f(n) – сеточная функция Криволинейная трапеция делиться на n трапеций с основанием h. Интеграл высчитывается как сумма интегралов In при достаточно малом h (то есть при фактически h 0) h fxdx xnxn x n+1 () In=In= 0 I= I n n f(a) f(b) Основной принцип:

Метод Трапеций Интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность). Соответственно площадь всей криволинейной трапеции можно рассчитать по формуле:

Метод средних прямоугольников. Интеграл равен сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно площадь всей криволинейной трапеции: Этот метод принципиально аналогичен методу трапеций

Метод Симпсона Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2], заменим площадью криволинейной (пораболической) трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, ll оси Оу. Уравнение параболы с осью, ll Оу, имеет вид y = Ax*х + Bx + C. y = Ax*х + Bx + C. Коэффициенты А, В и С однозначно определяются по трем точкам. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Формула Симпсона:, где у i =f(x i )

Проблемы точного вычисления определенных интегралов.

Сравнение результатов расчетов на [0; ] n=1000 на [0;1] при различных n на [0;1] n=1000 Из этих трех методов более точные результаты дает метод Симпсона. Однако, изменяя n мы можем получить достаточно точный результат с помощью любого метода.

Еще несколько примеров (x+1)dx = 6 на [1;3] ; (x*x)dx = 9 на [0;3];(x+1)dx = 6 на [1;3] ; (x*x)dx = 9 на [0;3]; (По формуле Ньютона-Лейбница). Результаты, полученные на ЭВМ с использованием метода трапеций: функцияn=10n=100n=500N=1000 f(x)=1 + x f(x)=x * x

Заключение и выводы. В настоящее время ЭВМ решают множество задач, для которых необходимо нахождение значения определенного интеграла. Способы решения подобных задач подсказал сам метод введения понятия ОИ. В настоящее время ЭВМ решают множество задач, для которых необходимо нахождение значения определенного интеграла. Способы решения подобных задач подсказал сам метод введения понятия ОИ. Очевидно, что вычисление определенных интегралов методами трапеций, средних прямоугольников и методом Симпсона не дает нам точного значения, а только приближенное. Очевидно, что вычисление определенных интегралов методами трапеций, средних прямоугольников и методом Симпсона не дает нам точного значения, а только приближенное. Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления. Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления. Использование для вычисления одновременно нескольких методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении этих методов. Использование для вычисления одновременно нескольких методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении этих методов. Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и все - к точному результату. Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и все - к точному результату.

Источники «Лекции по программированию. Язык программирования С.» Белошапкин В.В. Copyright © Красноярский государственный университет, 2002 г. «Лекции по программированию. Язык программирования С.» Белошапкин В.В. Copyright © Красноярский государственный университет, 2002 г. Белошапкин В.В. Белошапкин В.В. «Основы математического анализа », Ильин В.А., Позняк Э.Г., Физический факультет МГУ, изд. Физматлит, 2002 г. «Основы математического анализа », Ильин В.А., Позняк Э.Г., Физический факультет МГУ, изд. Физматлит, 2002 г. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С., «Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС». Минск.: 1989 г. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С., «Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС». Минск.: 1989 г. Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal». М.1992 г. Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal». М.1992 г. Белорусский Аграрный Технический Университет, Кафедра вычислительной техники, Курсовая работа: Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников студента 2-го курса, Полушкина О.А., Минск, 1997 г. Белорусский Аграрный Технический Университет, Кафедра вычислительной техники, Курсовая работа: Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников студента 2-го курса, Полушкина О.А., Минск, 1997 г. Магнитогорский Государственный Технический Университет, Курсовая работа: «Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Парабол (Формула Симпсона)» студента группы ФГК-98, Григоренко М.В., Магнитогорск, 1999 г. Магнитогорский Государственный Технический Университет, Курсовая работа: «Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Парабол (Формула Симпсона)» студента группы ФГК-98, Григоренко М.В., Магнитогорск, 1999 г.