МОУ СОШ 5 г. Щербинка ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ Работу выполнил ученик 9 А класса Скобеев Юрий Руководитель : учитель математики Юмашева Л. А.

ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка O называется центром окружности, а отрезок OA, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности радиусом окружности. О А Свойство биссектрисы. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон угла. Верно и обратно. Свойство серединного перпендикуляра. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов его отрезка. Верно и обратно

Вписанная окружность Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. о Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности. Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно. R O

Описанная окружность Центр описанной окружности равноудалён От вершин многоугольника и лежит на серединных перпендикулярах к его сторонам Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведённых к серединам сторон треугольника оOоO Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. a b cR S - площадь треугольника.

Окружность и треугольники Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра

Окружность и прямоугольный треугольник Радиус вписанной окружности а с b o r a b c R O Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен – половине гипотенузы - медиане, проведённой к гипотенузе

Вписанная окружность в четырёхугольник а b c d O r В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противолежащих сторон равны т. е. a + c = b + d Верно и обратно Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противолежащих сторон равны a + c = b + d Площадь: r – радиус вписанной окружности

Описанная окружность около четырёхугольника Описанная окружность около четырёхугольника α β γ φ Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противолежащих углов равна 180°: α + γ =β + φ Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равна 180°. a b c dd1 d2 ТЕОРЕМА ПТОЛОМЕЯ Сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей: ac + bd = d1 d2 a b c d ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА где р – полупериметр четырёхугольника

Параллелограмм, ромб, трапеция Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником; Радиус описанной окружности R d a b В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом. Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям S=2ar r h d1 d2 a Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная; Центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне R

r rr r А В Д О Если трапеция АВСД описана около окружности, то треугольники АОВ и ДОС прямоугольные (угол О –прямой); точка О – центр вписанной окружности. Высоты этих треугольников опущены на гипотенузы, равны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. трапеция С

Окружность и правильные многоугольники Виды правильных многоугольников Свойства правильного многоугольника. Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. О r R

Основные формулы для правильных многоугольников R r an – сторона многоугольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности

Список литературы Л. С. Атанасян Учебник геометрии 7-9 класс; Л. С. Атанасян Учебник геометрии 7-9 класс; Энциклопедия по математике АВАНТА+; Энциклопедия по математике АВАНТА+; Наглядный справочник по геометрии для 7-9 классов; Наглядный справочник по геометрии для 7-9 классов; Интернет-ресурсы. Интернет-ресурсы..

Спасибо за внимание