ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.

ВЫПУКЛЫЕ И НЕВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ МНОГОУГОЛЬНИК - ЭТО ФИГУРА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ОТРЕЗКОВ ТАК, ЧТО СМЕЖНЫЕ ОТРЕЗКИ НЕ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, А НЕСМЕЖНЫЕ ОТРЕЗКИ НЕ ИМЕЮТ ОБЩИХ ТОЧЕК. МНОГОУГОЛЬНИК НАЗЫВАЕТСЯ ВЫПУКЛЫМ, ЕСЛИ ОН ЛЕЖИТ ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ ЛЮБОЙ ПРЯМОЙ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЕГО СТОРОНУ. НА РИСУНКЕ 1 МНОГОУГОЛЬНИК F1 ВЫПУКЛЫЙ, А МНОГОУГОЛЬНИК F2 НЕВЫПУКЛЫЙ. МНОГОУГОЛЬНИК НАЗЫВАЕТСЯ НЕВЫПУКЛЫМ, ЕСЛИ ПРЯМАЯ, СОДЕРЖАЩАЯ СТОРОНУ МНОГОУГОЛЬНИКА РАЗБИВАЕТ ЕГО НА ДВЕ ЧАСТИ.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ НА РИСУНКЕ 1 ПРЕДСТАВЛЕНЫ ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ШЕСТИУГОЛЬНИК И ЧЕТЫРЕХ УГОЛЬНИК.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, и также в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центры описанной около правильного многоугольника и вписанной в него окружностей совпадают. Радиус описанного круга -это радиус правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудален от всех его сторон и от всех вершин, поэтому он служит одновременно центром вписанной и описанной окружностей многоугольника (рис.3 )

Теорема. Многоугольник, вписанный в окружность, является выпуклым. Если все стороны вписанного многоугольника равны, то он является правильным.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА : СТОРОНА ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА : ПЛОЩАДЬ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА : РАДИУС ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ :

. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ДЛЯ ПРАВИЛЬНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ДЛЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА

Построение правильного многоугольника по его стороне (с использованием поворота) Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Предварительно необходимо вычислить внутренний угол правильного многоугольника. Из школьного курса геометрии вам известно (или будет известно немного позже), что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n - 2). Исходя из этой теоремы, несложно вычислить величину внутреннего угла правильного многоугольника. В таблице ниже приведены значения сумм углов и внутренних углов для некоторых правильных многоугольников. Зная величину внутреннего угла правильного многоугольника, построить сам многоугольник не составит труда. 1. Построим две точки - две соседние вершины многоугольника. 2. Одну из точек отметим как центр поворота, выделим вторую точку и повернём её на внутренний угол. В результате будет построена третья вершина многоугольника. 3. Только что построенную точку отметим в качестве центра поворота и повернём на внутренний угол соседнюю вершину (бывший центр). Будет построена четвёртая вершина. 4. Третий шаг будем повторять до тех пор, пока не будут построены все вершины многоугольника. 5. Последовательно соединить вершины многоугольника отрезками.

ЛЮБОЙ ЛИ ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК МОЖНО ПОСТРОИТЬ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ ? ЕСЛИ ПОСТРОЕН КАКОЙ - НИБУДЬ ПРАВИЛЬНЫЙ N- УГОЛЬНИК, ТО С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ МОЖНО ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ 2N- УГОЛЬНИК. ОПИШЕМ ОКОЛО ДАННОГО МНОГОУГОЛЬНИКА А 1, А 2… А N O КРУЖНОСТЬ. ДЛЯ ЭТОГО ПОСТРОИМ СЕРЕДИННЫЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ A И B К O ТРЕЗКАМ А 1 А 2 И А 2 А 3 ( НА РИСУНКЕ N= 4). ОНИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В НЕКОТОРОЙ ТОЧКЕ О. ОКРУЖНОСТЬ С ЦЕНТРОМ О РАДИУСА ОА 1 ЯВЛЯЕТСЯ ОПИСАННОЙ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА А 1 А 2… А N. ПОСТРОИМ ТЕПЕРЬ СЕРЕДИНЫ B1, B2, …, BN СООТВЕТСТВЕННО ДУГ А 1 А 2, А 2 А 3,…, А N А 1 СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. ТОЧКИ B1 И B2 ПОЛУЧАЮТСЯ КАК ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ А И B С ДУГАМИ А 1 А 2 И А 2 А 3. ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧКИ B3 ПРОВЕДЁМ O КРУЖНОСТЬ С ЦЕНТРОМ А 3 РАДИУСА А 3 B2. ОДНА ИЗ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЭТОЙ O КРУЖНОСТИ С ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ЕСТЬ ТОЧКА B2, А ДРУГАЯ - ИСКОМАЯ ТОЧКА B3. АНАЛОГИЧНО СТРОЯТСЯ ТОЧКИ B4,…, BN. СОЕДИНИВ КАЖДУЮ ИЗ ТОЧЕК B1,B2,…, BN ОТРЕЗКАМИ С КОНЦАМИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ДУГИ, ПОЛУЧИМ 2N- УГОЛЬНИК А 1 В 1 А 2 В 2 А 3… А N BN, КОТОРЫЙ ЯВЛЯЕТСЯ ПРАВИЛЬНЫМ В СИЛУ ТЕОРЕМЫ О ВПИСАННОМ В ОКРУЖНОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКЕ НА РИСУНКЕ ПО ДАННОМУ ПРАВИЛЬНОМУ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКУ А 1 А 2 А 3 А 4 ПОСТРОЕН ПРАВИЛЬНЫЙ ВОСЬМИУГОЛЬНИК А 1 В 1 А 2… В 4. ИТАК, ЕСЛИ МЫ МОЖЕМ ПОСТРОИТЬ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ ПРАВИЛЬНЫЙ N- УГОЛЬНИК, ГДЕ N - ДАННОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО, ТО МОЖНО ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЕ 2N- УГОЛЬНИК, 4N- УГОЛЬНИК И, ВООБЩЕ, (2^K*N)- УГОЛЬНИК, ГДЕ K - ЛЮБОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО.

ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ. Задача 1. Построение правильного шестиугольника и треугольника.

Задача 2. Построение правильного четырехугольника и восьмиугольника. Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2...А8- искомый восьмиугольник.

. Задача 3. Найти углы правильного десятиугольника и выразить его сторону через радиус R описанной окружности. Решение. По формуле an=(n-2)/n*180° находим угол а 10 правильного десятиугольника: а 10=(10- 2)/10*180°= 144°. Пусть АВ- сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R с центром в точке О. По формуле an= 2R*sin180°/n АВ=2R*sin18 °. Получим другое выражение для стороны АВ. С этой целью рассмотрим треугольник АВО и проведем его биссектрису АС. Так как угол АОВ= 360°/10= 36°, то угол ОАВ= (180°-36°)/2= 72°, угол ВАС= 1/2*угол ОАВ= 1/2*72°= 36°. Отсюда следует, что треугольник АОВ~ треугольнику САВ по двум углам (угол АОВ = угол ВАС= 36°, угол В -общий). Поэтому АВ=АС и АВ/ОВ= ВС/АВ. Далее, треугольник АОС равнобедренный (угол АОС= угол ОАС= 36°), следовательно, АС=ОС. Итак, АВ=АС=ОС=R-BC, откуда ВС=R-АВ, и пропорцию АВ/ОВ=ВС/АВ можно записать в виде АВ/R=(R-AB)/AB. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно АВ: АВ + R*АВ -R =0. Решая это уравнение и учитывая, что АВ>0, находим АВ= R/2( 5-1) ( Замечание. Сравнивая полученное выражение для АВ с равенством АВ=2R*sin18°, находим значение sin18°: sin18°= ( 5-1)/4

Задача 4. Построение правильного десятиугольника и пятиугольника. Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Докажем, что отрезок А1D равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность w. В самом деле, А 1 D=А 1 С-R/2, А 1 С = А 1 О + ОС = R + ( R /2) = 5 R /4 = R 5/2 А 1 D= R 5/2 – R/2 = R /2 ( 5-1) Далее отметим на окружности w точки А2, А3, …, А10 так, что А1А2= А2А3=… =А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10- искомый. Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.

. Задача 5. В данную окружность вписать правильный пятнадцатиугольник. Решение. Пусть w- данная окружность радиуса R с центром O и АВ - сторона правильного вписанного в эту окружность десятиугольника, а АС- сторона правильного вписанного шестиугольника, причем точки В и С расположены на окружности так, как показано на рисунке а). Тогда, очевидно, дуга АВ=36°, дуга АС=60°, поэтому дуга ВС=24°. Следовательно, угол ВОС=24°=360°/15°, и, значит, отрезок ВС- сторона правильного пятнадцатиугольника, вписанного в окружность w. Так как мы умеем строить циркулем и линейкой отрезки АВ=((корень из 5-1)/2)*R и АС=R (рис.б)), то можем построить отрезок ВС. Возьмем далее на окружности w произвольную точку А1 и, пользуясь циркулем, отметим на этой окружности последовательно точки А2, А3,…, А15 так, что А1А2 = А2А3=…= А14А15= ВС. Проведя затем отрезки А1А2, А2А3,…, А14А15, А15А1, получим искомый правильный пятнадцатиугольник А1А2…А15 (рис. в)).

Решение. Проведем лучи ОА1, ОА2,..., ОАn и на этих лучах построим вершины искомого n-угольника. Для этого на луче А2А1 отложим отрезок А2С, равный отрезку PQ, и через точку С проведем прямую, параллельную прямой ОА2 (на рисунке n=8). Точку пересечения этой прямой с лучом ОА1 обозначим В1. Проведем теперь окружность с центром О радиуса ОВ1 и обозначим через В2, В3,..., Вn точки пересечения этой окружности с лучами ОА2, ОА3,..., ОАn. Построим, наконец, отрезки В1В2, В2В3,..., ВnВ1. Получим искомый правильный n- угольник В1В2...Вn. Задача 6. Дан правильный n-угольник А1А2...Аn, вписанный в окружность с центром О. Построить n-угольник, сторона которого равна данному отрезку PQ.

А так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками? Историческая справка. В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (360: 60= 6), либо четыре квадрата (360: 90 = 4), либо три правильных шестиугольника (360: 120 = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна 360. Вы не задумывались вот над таким вопросом: Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника? Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади, то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р3 = 45,9 см., Р4 = 40 см., Р6 = 37,8 см.). Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек. Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов. И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

ПЕТРОПАВЛОВСКАЯ КРЕПОСТЬ

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА - ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛОГ ПЛОСКИХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. СУЩЕСТВУЕТ ЛИШЬ ПЯТЬ ВЫПУКЛЫХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ - ТЕТРАЭДР, ОКТАЭДР И ИКОСАЭДР С ТРЕУГОЛЬНЫМИ ГРАНЯМИ, КУБ ( ГЕКСАЭДР ) С КВАДРАТНЫМИ ГРАНЯМИ И ДОДЕКАЭДР С ПЯТИУГОЛЬНЫМИ ГРАНЯМИ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОГО ФАКТА ИЗВЕСТНО УЖЕ БОЛЕЕ ДВУХ ТЫСЯЧ ЛЕТ ; ЭТИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ И ИЗУЧЕНИЕМ ПЯТИ ПРАВИЛЬНЫХ ТЕЛ ЗАВЕРШАЮТСЯ " НАЧАЛА " ЕВКЛИДА. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЛЬКО ПЯТИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ ОТНОСИЛИ К СТРОЕНИЮ МАТЕРИИ И ВСЕЛЕННОЙ. ПИФАГОРЕЙЦЫ, А ЗАТЕМ ПЛАТОН ПОЛАГАЛИ, ЧТО МАТЕРИЯ СОСТОИТ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ : ОГНЯ, ЗЕМЛИ, ВОЗДУХА И ВОДЫ. СОГЛАСНО ИХ МНЕНИЮ, АТОМЫ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ФОРМУ РАЗЛИЧНЫХ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ.

огонь огонь тетраэдр тетраэдр вода вода икосаэдр икосаэдр воздух воздух октаэдр октаэдр земля земля гексаэдр гексаэдр вселенная вселенная додекаэдр додекаэдр

РАБОТЫ ЭШЕРА

" ПОРЯДОК И ХАОС ". Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе " порядок и хаос ". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Гравюра "Звезды" Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ