Теория вероятности

Пространство элементарных исходов Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега»). Событиями мы будем называть подмножества множества. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество.

Примеры: Пример 1. Пример 1. ={1,2,3,4,5,6} ={1,2,3,4,5,6} Примеры событий: Примеры событий: А={1,2} –выпало одно или два очка А={1,2} –выпало одно или два очка В={1,3,5} –выпало нечетное число очков В={1,3,5} –выпало нечетное число очков

Пример 2. ( i, j ) где i (соответственно, j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: ( i, j ) где i (соответственно, j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: ={ ( i, j ), где 1 i, j 6 ={ ( i, j ), где 1 i, j 6 Примеры событий: Примеры событий: A ={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) } A ={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) } B ={ (1,1), (2,1), (3,1),(4,1), (5,1), (6,1) } B ={ (1,1), (2,1), (3,1),(4,1), (5,1), (6,1) } C ={ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } C ={ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } D ={ (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3),(5,5)} D ={ (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3),(5,5)}

Пример 3. Пример 3. ={ г, рг, рог, ррог, рррог, ррррог, …} где р означает выпадение решки, а г герба при одном подбрасывании.

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы событие. Н Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда.

Операции над событиями

1. События А и В называются несовместными, если AB=Ø. 2. События A 1, …, A n называются попарно несовместными, если для любых i j, где 1 i, j n, события A i и A j несовместны.

Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов. Определение Поставим каждому элементарному исходу ωi в соответствие число pi [0,1] так, что pi =1 ωi Назовём число pi вероятностью элементарного исхода ω. Вероятностью события A назовём число P(A)= pi ωi A равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих во множество A. В случае A=Ø положим P(A)=0.

Замечания 1. 0P(A) 1; P()=1; P(Ā)=1- P(A); 1. 0P(A) 1; P()=1; P(Ā)=1- P(A); 2. Если A и B несовместны, P(AUB)=P(A)+P(B); 2. Если A и B несовместны, P(AUB)=P(A)+P(B); 3. В общем случае P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB); 3. В общем случае P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB); 4. Если A B, то P(A) P(B). 4. Если A B, то P(A) P(B).

Классическое определение вероятности Если A={ω i1,…, ωik } событие состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению k N : P(A)=p i1 +…+pik =k ·1 =A, N где символом A обозначено число элементов конечного множества A.

Определение Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа=N равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события A вычисляется по формуле Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа=N равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события A вычисляется по формуле P(A)=A. P(A)=A.

Пример(два герба), (две решки), (один герб и одна решка). (герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка)

Основные формулы комбинаторики

Теорема о перемножении шансов. Теорема 1. Пусть множество A состоит из k элементов: A={a1,…,ak} а множество B из m элементов: B={b 1,…,b m}. Тогда можно образовать ровно km пар(a i, b j), взяв первый элемент из множества A, а второй из множества B. Доказательство. С элементом a 1 мы можем образовать m пар: (a1, b1),…, (a1, b m). Столько же пар можно составить с элементом a 2, столько же с элементом a 3 и с любым другим из k элементов множества A. Т.е. всего возможно km пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй из множества B.

Выбор Выбор с учётом порядка : (1,5,2), (2,5,1) и (4,4,5)- (1,5,2), (2,5,1) и (4,4,5)- наборы различны Выбор без учёта порядка: Выбор без учёта порядка: (1,5,2) и (2,5,1)-наборы не различаются (1,5,2) и (2,5,1)-наборы не различаются

Выбор без возвращения, с учетом порядка Теорема 2. A k n =n (n-1)·…·(n- k +1)= (n n - ! k)! A k n =n (n-1)·…·(n- k +1)= (n n - ! k)!Доказательство. (номер первого шара, номер второго шара) Число возможных пар равно n (n-1). (номер первого шара, номер второго шара) Число возможных пар равно n (n-1). ((номер первого шара, номер второго шара),номер третьего шара) ((номер первого шара, номер второго шара),номер третьего шара) Число возможных троек равно произведению числа пар n (n-1) и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно n(n-1)(n-2). Получим, что общее число возможных наборов из k шаров равно n (n-1)·…·(n- k +1). В этом произведении k сомножителей последний множитель n- k +1 есть число способов выбора k-го шара. Число возможных троек равно произведению числа пар n (n-1) и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно n(n-1)(n-2). Получим, что общее число возможных наборов из k шаров равно n (n-1)·…·(n- k +1). В этом произведении k сомножителей последний множитель n- k +1 есть число способов выбора k-го шара.

Следствие 1. Если в множестве n элементов, то существует ровно n! перестановок этих элементов. Доказательство. Перестановка результат выбора без возвращения и с учётом порядка элементов из n. Поэтому общее число перестановок равно Ann=n!

Выбор без возвращения и без учёта порядка Теорема 3. Теорема 3. C k n = A k n = (n n - ! k)! C k n = A k n = (n n - ! k)! k! k! Доказательство. Доказательство. число наборов при выборе без учёта порядка равно A k n k!

Выбор с возвращением и с учётом порядка Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется n k. Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется n k. Доказательство. Первый шар можно выбрать способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также n способами, и так k раз. Общее число наборов равно n· n·…·n=n k. Доказательство. Первый шар можно выбрать способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также n способами, и так k раз. Общее число наборов равно n· n·…·n=n k.

Выбор с возвращением и без учёта порядка с учётом порядка без учёта порядка (1,1) (1,1) (2,2) (2,2) (1,2) (2,1) (1,2) (2,1) } (1,2) } (1,2)

Теорема 5 Ckn+k-1=Cn-1n+k-1 Доказательство. - k k k ki- число появлений шара номер i в наборе, и k1+…+kn=k. Числа ki принимают значения из N U {0}. - результат эксперимента: k1,k2,…,kn,где ki равно числу шаров ящике с номером i, и k1+…+kn=k. - - Ckn+k-1= Cn-1n+k-1