Introducción a las Finanzas AEA 504 Clase 3

Sección 2, Parte 2 Aplicaciones del valor del dinero en el tiempo …. 2.1Capitalizacion

2.1 Capitalización

Capitalización La entenderemos como el proceso de pasar el valor actual ( o valor presente PV) a valor futuro (FV) Ejemplo 1 : Ud. deposita $1000 (PV) en una cuenta que otorga el 8% de interés anual. ¿Que cantidad poseerá Ud. al cabo de cinco años si no retira nada antes de ese plazo? Este valor se dice el valor futuro FV de la inversión. El FV es aquí la cantidad de dinero a la que ascenderá una inversión (PV) en una cierta fecha futura Capitalización

Capitalización … Respuesta : Reconocemos que : PV = $ 1000 i = 8% anual ; tasa de interés, n = 5 años numero de años (periodos), FV = Valor futuro a cinco años Véase lo que sucede… Al fin del primer año el valor futuro VF alcanzado será … VF = 1000 x ( 1,08 ) = 1080 $ Al volver a depositar esta cantidad ganará el 8% sobre los 1080, es decir, se obtendrá … VF = 1080 x ( 1,08 ) = $ Véase que ahora hemos ganado el 8% sobre 1080 $, es decir sobre los 1000 $ iniciales y el interés de 80 $ generado anteriormente generando ganancia de 166,4 $ … esto se dice interés compuesto Capitalización

Capitalización … Interés Simple vs Compuesto Entenderemos mejor el interés compuesto si consideramos sus tres componentes Primero : tenemos el capital original …. en nuestro ejemplo los 1000$ Segundo : tenemos el interés sobre el capital original, en nuestro caso los 80 $. Este interés se dice Interés Simple Tercero : observamos que en nuestro ejemplo anterior, en el segundo año, existen 6,4$ de intereses ganados sobre los intereses del primer año. Este interés se dice Interés Compuesto De esta forma los intereses de 166,4 $ ganados después del segundo año es la suma de 160 $ de interés simple ganados sobre los 1000 $ mas 6,4$ de interés compuesto Capitalización

Capitalización … Ejercicio propuesto 1 Calcule cuál es el interés simple y cual es el interés compuesto en una inversión de $ al 6 % anual al cabo de cinco años Ejercicio propuesto 2 Complete la tabla de capitalización siguiente : ¿Que parte del valor futuro proviene del interés simple y que parte del compuesto? Capitalización

Frecuencia de Capitalización y Tasa Anual Efectiva Las tasas de interés de préstamos y cuentas de ahorro suelen expresarse como una tasa porcentual anual (TPA) y según una cierta frecuencia de capitalización (por ej mensual) La tasa TPA y la tasa mensual de capitalización pueden diferir.. Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 1 Supongamos que hemos invertido a una tasa de interés anual del 6% la que se capitaliza mensualmente ( es decir, paga nos intereses mensualmente). La convención es que esto quiere decir que la tasa verdadera es de 1/12 de 6% al mes, es decir, es de al mes… ( 0.5% al mes) De esta forma al cabo de doce meses ( es decir al año) … Capitalización

Frecuencia de Capitalización y Tasa Anual Efectiva FV = 1 x (1.005) 12 = … el valor futuro, por cada dólar invertido será… Véase que según este resultado la tasa verdadera obtenida de la inversión es Tasa verdadera obtenida = – 1 = = % > 6 % !!! A esta Tasa verdadera le llamamos tasa anual efectiva … Capitalización

Frecuencia de Capitalización y Tasa Anual Efectiva Tasa Anual Efectiva (TAE) Es la tasa equivalente si la capitalización se hiciese solo una vez al año La fórmula general de la tasa anual efectiva es TAE = ( 1 + TPA /m ) m - 1 En donde TPA es la tasa porcentual anual y m es el numero de períodos de capitalización por año. Si m = 1 ambas tasa coinciden Cuando m crece ilimitadamente se dice Capitalización (o Interés) Continua y la fórmula se aproxima a TAE = e TPA Capitalización

2.2Inversión en un solo período

Inversión en un solo período : Valor futuro A Cuanto crecería su inversión en un año si Ud. invirtiese $ a una tasa del 6% ? Respuesta : Aplicamos la fórmula del valor futuro de un solo período (un solo flujo): VF = C x ( 1+r) t t = 1 C : flujo de caja r : la tasa de interés adecuada De este modo … VF = $ x ( ) VF = $ La inversión creció a $21.200, siendo $1200 por concepto de interés Inversión en un solo Periodo

Inversión en un solo período : Valor Presente Cual sería la cantidad requerida a reservar hoy para cumplir con un pago de deuda de un año si la tasa de interés anual de mercado es 6% ? Respuesta : Es el valor presente !!! Luego, aplicamos la fórmula del valor presente VP = C / ( 1+r) t t = 1 ( un año) C : flujo de caja r : la tasa de interés adecuada De este modo … VP = $ / ( ) VP = $ ,9 Inversión en un solo Periodo

Inversión en un solo período : Valor Actual Neto ( VAN) Un instrumento (proyecto de inversión) que le promete pagar U$ se le ofrece a Ud. por el precio de U$ Ud. observa que la tasa de interés relevante hoy ( de depósitos a plazo en bancos) es de 7%. Aceptaría Ud. esta oferta? Respuesta : Usamos la idea de valor presente. Comparamos el valor presente de la promesa con el precio cotizado … a esta comparación le llamamos VAN del proyecto de inversión … VAN = - COSTO + VALOR PRESENTE Aquí : Costo = U$ Flujo caja = U$ Tasa relevante (costo op.) = 7 % De este modo … VAN = / ( ) VAN = U$ 1.147,1 Van > 0.. Me conviene el proyecto!!! Inversión en un solo Periodo

2.3Inversión varios períodos (multiperiodo)

Caso multi periodo : Valor futuro de renta variable Ud. ha invertido en una IPO (oferta pública inicial de acciones) de la compañía FuturValue Corp. Esta paga actualmente un dividendo de 2U$ por acción y los analistas esperan que los dividendos a repartir crezcan a una tasa del 30% por año los próximos 3 años. Cuál será el dividendo en 3 años? Respuesta : Aplicamos la fórmula del valor futuro de varios períodos : VF = C x ( 1+r) T T = numero de períodos sobre los cuales el efectivo esinvertido C : flujo de caja r : la tasa de interés adecuada De este modo … VF = U$ 2 x ( ) 3 VF = U$ 4,394 El dividendo a repartir al cuarto año será U$ 4,39 Inversión en varios Periodos

Caso multi periodo : Composición e Interés compuesto En el ejemplo anterior nótese el efecto de crecimiento sobre crecimiento …. VF = U$ 2 x ( ) x ( 1+.30) x ( ) = (2 +.60) x ( 1+.30) x ( ) = ( x.30) x ( ) = ( x x x.30+.6x.30x.30) Inversión en varios Periodos

Caso multi periodo : Composición e interés compuesto … Ordenando un poco …. = ( x x x x.30x.30) Ordenando mas … = ( x ( x.30) ) +.60x.30x.30) = ( x 2 x x2 x.30x.30 ) + 60x.30x.30) = x 2 x x2 x.30x x.30x.30 = (2 + 3 x 2 x.30) + 3 x2 x.30x x.30x.30 = (2 + 3 x 2 x.30) + resto Así se ve que : x ( 2 x.30) + resto > x (2 x.30) El dividendo compuesto es mayor que la suma del dividendo original mas los incrementos del 30% sobre el dividendo original …. U$ 4,39 > U$ 3.80 Inversión en varios Periodos

Veamos este efecto en otro ejemplo …. Deseo tener en 5 años mas. Cuanto debo ahorrar (reservar) hoy si la tasa de interés es 6 % ? Respuesta : Usamos la idea de Valor presente. Descontamos el flujo a la tasa relevante … Aquí : Flujo caja futuro = U$ Tasa relevante (costo op.) = 6 % Aplicamos la fórmula ….: VP = / ( ) 5 VP = Debo ahorrar hoy U$ 7.472,6 !!! Composición da cuenta del efecto de reinvertir todo cada vez …. Caso multi periodo : Composición e interés compuesto … Inversión en varios Periodos

Caso multi periodo : Cuanto esperar ? Veamos otro ejemplo …. Ud. Deposita hoy $ en una cuenta a plazo que paga 8 % anual. Cuanto tiempo le toma Ud crecer (al menos) a $ ? Respuesta : Usamos la idea de Valor Futuro : VF = C x ( 1 + t ) T Aquí : Flujo caja futuro = $ Tasa relevante (costo op.) = 8 % T periodo requerido (incógnita) Aplicamos la fórmula ….: = x ( ) T ( ) T = / = 2 ln (1.08) T = ln 2 ln(1.08) x T = T = / T = años !!!! Inversión en varios Periodos

Ud. ha decidido hacer estudios de postgrado en el extranjero que tendrán el costo de 20MM$ en 5 años mas. Hoy Ud. tiene 2MM$ para invertir en el mercado de capitales. ¿Qué tasa de interés debe ganar la inversión para cubrir el coste de los estudios? Respuesta: Aquí se espera que la inversión de 2MM$ crezca año a año según una tasa t anual. Calculamos el valor futuro de la inversión y comparamos con el coste … VF = C x ( 1+r) t Aquí : Flujo caja futuro = 20 MM$ Tasa relevante (incógnita) = r T periodo = 5 años = x (1 + r ) 5 (1 + r ) 5 = / = r = 10 1/5 r = = 33.7% !!! Caso multi periodo : Que tasa se requiere ? Inversión en varios Periodos

Periodos de composición en el año: Frecuencia de Capitalización m Si dentro del año se compone una inversión C en m períodos, durante T años, entonces el valor futuro de la riqueza lo podemos calcular extendiendo la formula de composición : VF = C x ( 1+r/m) m x T C : inversión r : tasa anual M : periodos de composición intra-anual T : numero de años En muchas inversiones o préstamos el período de capitalización o frecuencia de capitalización varía …. Inversión en varios Periodos

Ejemplo 1 : Ud. evalúa adquirir un préstamo de $ de pesos para comprar un automóvil. El vendedor le dice a Ud. que puede financiar el préstamo por un año a una tasa del 7,25%. Si el interés se capitaliza diariamente, ¿Cuánto pagaría Ud. por el préstamo? Respuesta : VF = C x ( 1+r/m) m x T con : C : $ r : 7.25 % m : 365 T : 1 VF = $ x ( /365) 365 x 1 = $ x 2,918 VF = $ ¿ Cuanto sería con composición anual ? Resp : $ !!! Menos !!!! porqué?? Periodos de composición en el año: Frecuencia de Capitalización m Inversión en varios Periodos

Ejemplo 2 : Ud invierte $ por 4 años a una tasa anual del 12%, compuesta semi-anualmente. Cual es el valor futuro de la inversión? Respuesta : VF = C x ( 1+r/m) m x T Aquí : C : $ r : 12 % m : 2 T : 4 VF = $ ( / 2) 2 x 4 = $ x (1,06) 8 VF = $ 31876,9 Periodos de composición en el año: Frecuencia de Capitalización m Inversión en varios Periodos

Caso multi periodo : Tasa Anual de Interés efectiva En el ejemplo anterior, una pregunta evidente que surge es ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva sobre la inversión? Definición : La Tasa Anual de Interés Efectiva ( Effective Annual Rate EAR) es aquella que aplicada anualmente daría la misma riqueza final después de los T años … Inversión en varios Periodos

En nuestro ejemplo, riqueza final = VF riqueza final = $ 31876,9 Luego … $31876,9 = $ ( 1+ EAR) 4 ( 1+ EAR) 4 = $31876,9 / $ EAR = ¼ - 1 EAR = – 1 EAR = 12,36 % Es decir, invertir anualmente al 12,36% produce la misma riqueza final que invertir al 12% compuesto semi-anualmente !!! Caso multi periodo : Tasa Anual de Interés efectiva Inversión en varios Periodos

En el límite, cuando el largo del período de composición m tiende a cero (es dcier m tiende a infinito) entonces el valor futuro de la inversión compuesta sobre varios períodos anuales T viene dado por : VF = C o x e rT En donde : C 0 : es la inversión o flujo a la fecha cero r : es la tasa de interés anual T : es el numero de períodos anuales sobre los cuales se realiza la inversión e : es el numero trascendental 2,71828 Caso multi periodo : Composición Continua Inversión en varios Periodos

2.4Casos Especiales de aplicación del Valor del dinero en el tiempo Perpetuidad Perpetuidad creciente Anualidad Anualidad creciente

Perpetuidad Es una corriente constante e infinita de flujos Aquí, el valor presente de este flujo es : CCC 0123 Puede demostrarse que esto se simplifica en … Perpetuidad

Perpetuidad …. ejemplo Respuesta : Aplicamos la fórmula de simplificada de la perpetuidad …. Aquí. C = £ 200 r = 8.5 % Precio de mercado = £ 2480 Ejemplo : Un broker inglés le ofrece a Ud. bono consol ( perpetuo) que promete pagar £ 200 por año al valor de £ ¿ Compraría Ud. el Bono si sabe que la tasa de interés del mercado es 8.5% anual? Aplicamos la fórmula …. VP = £ 200 / = £ 2352,9 Precio mercado > Vp No compro !!! Perpetuidad

Perpetuidad Creciente Es una corriente infinita de flujos de caja que crce a una tasa constante Aquí, el valor presente de este flujo es : C C ( 1 + g)C ( 1+ g ) Puede demostrarse que esto se simplifica en la fórmula llamada perpetuidad creciente … Perpetuidad Creciente

Perpetuidad creciente … ejemplo Respuesta : Ejemplo : Analistas proyectan un dividendo de U$ 1,8 a fin de año para la acción de la empresa Perpetum Ltd. y esperan que este crezca por siempre a una tasa anual del 3%. ¿ Compraría Ud.la acción si sabe que está a un valor de mercado de U$ 17,50 y la tasa de interés del mercado (costo de oportunidad) está a 10 %? Por tanto comparamos este precio con el precio de mercado y determinamos si la acción esta sobrevaluada o subvaluada !!!!… Según mencionamos en clases anteriores, el VP de los dividendos es el precio esperado de la acción hoy. Perpetuidad Creciente

Perpetuidad creciente … ejemplo Aquí. C = US 1,8 g = 3 % r = 8.5 % Precio de mercado = U$ 17,50 Aplicamos la fórmula …. VP = U$ 1,8 / ( 10% - 3%) = U$ 18,00 Precio mercado < VP Acción sub-valuada Compro !!! Veamos … el valor presente lo calculamos según la fórmula : Perpetuidad Creciente

Anualidad En muchos casos, los flujos de efectivo son idénticos cada año, por ej: al trazar un plan de ahorros, un proyecto de inversión o un calendario de pagos de un préstamo. Diremos anualidad a esta corriente de flujos de pago de efectivo. Este nombre proviene desde la industria de seguros de vida en la que un contrato de anualidades promete un flujo de pagos al contratante durante un período determinado. En finanzas, el término tiene un significado mas general ya que se aplica a cualquier tipo de corriente de flujos de efectivo: De este modo el término anualidad también se aplica a préstamos a plazo o a una hipoteca. Si los flujos comienzan de inmediato se dice anualidad inmediata, por ej: en un plan de ahorros o en un contrato de arriendo. Si los flujos comienzan al final del período se dice anualidad ordinaria o vencida. Un ejemplo de esto es un préstamo con hipoteca Anualidad

Anualidad : Valor futuro Ejemplo Ud. desea ahorra 100 $ durante tres años comenzando de inmediato. ¿ Cuanto tendrá al cabo del tercer año si la tasa contratada es del 8%? Respuesta Aplicamos para cada flujo la formula del valor futuro y sumamos..… El cuadro de pagos siguiente muestra la diferencia con la anualidad ordinaria VF = C x ( 1+r) T y obtenemos… VF= 100 x x x 1.08 = $ !!! Anualidad inmediata Anualidad ordinaria Anualidad

Anualidad Valor Presente Sea la corriente constante de flujos en un numero finito T de períodos que se muestra en la figura … Aquí, el valor presente de este flujo es : C CC 0123 Puede demostrarse que esto se simplifica en la fórmula conocida como Anualidad … T Anualidad

Anualidad … ejemplo Respuesta : El precio es el valor presente de ese flujo descontado a la tasa de coste de oportunidad del capital (7% ). Este valor presente lo calculamos con la fórmula de simplificada de la anualidad …. Aquí. C = $ r = 7 % T = 60 años Ejemplo : Se le ofrece invertir en un terreno mediante un préstamo a 60 meses con pago de dividendo de $ mensuales. ¿Cual es el precio que Ud. Pagaría por este si la tasa de interés es de 7% ? Aplicamos la fórmula ….y obtenemos.. VP = $ Este es el precio que pagaría por el terreno !! Anualidad

Anualidad Creciente Es una corriente de flujos de caja constante en un numero finito T de períodos Aquí, el valor presente de este flujo es : C C(1+g) C (1+g) Puede demostrarse que esto se simplifica en la fórmula conocida como Anualidad … T C (1+g) T - 1 Anualidad

Anualidad creciente… ejemplo Es el valor presente de ese flujo descontado a la tasa de coste de oportunidad del capital. No esta dada… pero miramos el diario y vemos que es 8% !!! El valor presente se calcula, en este caso, como : C = $ r = 8 % T = 30 años Ejemplo : Ud esta considerando un plan de jubilación que le ofrece pagar $ por año, durante 30 años, con incremento del pago a la tasa de crecimiento de 2% al año. ¿Cuál es el valor máximo que Ud. Esta dispuesto a pagar hoy por este plan? Respuesta : Aplicamos la fórmula ….y obtenemos.. VP = $ Este es el precio máximo que estará dispuesto a pagar Anualidad