Повторим стереометрию

Аксиомы стереометрии А М А А α α α β 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и не принадлежащие ей. А α; М α Э Э 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, И при том, только одну.

Параллельность прямой и плоскости α а Прямую и плоскость называют параллельными, если они не пересекаются. ׀׀а α

Параллельность прямой и плоскости Признак Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. α а b Если b // a, то b // α Свойство Если через прямую, параллельную плоскости, провести вторую плоскость, пересекающую первую, то прямая пересечения Плоскостей параллельна первой прямой. α β а b Если а//α, a β проходит через а и пересекает α по b, то a//b.

Параллельность плоскостей α β Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α // β Признак Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. α β а а 1 а 1 b b1b1 Если а//a 1, b//b 1, то α // β (a и b принадлежат α,а 1 и b 1 принадлежат β )

Параллельность плоскостей Свойства α β γ Если две различные плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой. α β γ а b Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. α β Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямой и плоскости Прямую, пересекающую плоскость, называют перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в данной плоскости. αа b а α а b, где b-любая прямая плоскости α Т Т

Перпендикулярность прямой и плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости α а Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Если а b и а с (b c), то а α ТТТ

Перпендикулярность прямой и плоскости Свойства перпендикулярных прямой и плоскости α а b Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. α β а Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема о трех перпендикулярах α А О В с Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и наклонной.

Перпендикулярность плоскостей α β γ Две пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым

Перпендикулярность плоскостей Признак Свойство Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. α β Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. <

Углы в пространстве α А В О Углом между прямой и пересекающей ее плоскостью называют угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость. <АВО- угол между АВ и α α β с Двугранным углом называют фигуру, образованную двумя полуплоскостями с общей ограничивающей прямой. Полуплоскости α и β –грани двугранного угла с- ребро двугранного угла

Линейный угол двугранного угла α β с А М В Линейным углом двугранного угла называют угол между лучами, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани. <АМВ- линейный угол

Практические приемы построения линейного угла β α с А М В <АМВ- линейный А С М В О S SO-высота пирамиды проводим ОМ ВС соединяем S и М SM BC по т.о 3-х <SMO-линейный угол АВ С D O S M SABCD-прав. пирамида Проводим СМ SB и соединяем А и М. Т.к. АМ SB, то <АМС- линейный при ребре SB

Угол между скрещивающимися прямыми а b a1a1 b1b1 φ Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямы- ми,параллельными данным скрещивающимся прямым. а // а 1, b // b 1 <(a,b)=<(a 1,b 1 )=φ

Призма Призмой называют многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным пере- носом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих много- угольников. ABCD,A 1 B 1 C 1 D 1 -основания АА 1,ВВ 1,…-боковые ребра АС 1 -диакональ (отрезок, соединяющий две вершины, на принадлежащей одной грани.) Высота призмы- расстояние между плоскостями ее оснований.А 1 М=h-высота А С D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 В М

Свойства призмы А С D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 В Основания призмы равны. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Боковые грани призмы – параллелограммы. V=S осн. ·h S п.п. =S б.п. +2S осн.

Прямая призма А А1А1 В В1В1 С С1С1 D D1D1 Призму называют прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. АА 1 (АВС), ВВ 1 (АВС),… свойства У прямой призмы высота равна боковому ребру. Боковые грани прямой призмы- прямоугольники. Vпр.пр.=Sосн.·h=Sосн.·АА 1 Sбок.=Росн.·АА 1 Sп.п.=2Sосн.+Sб.п.

Правильная призма Прямую призму называют правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками. треугольная \ \/ \ \ \ \ четырехугольная \ \ \ / / пятиугольная \ \ \ \ / / шестиугольная

Параллелепипед А ВС D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Параллелепипедом называют призму, в основании которой лежит параллелограмм. свойства У параллелепипеда все грани- параллелограммы. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагонали параллелепипеда пересе- каются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. О

Параллелепипед Прямоугольный параллелепипед-это параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. а b c d Свойства У прямоугольного параллелепипеда все грани-прямоугольники В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диаконали равен сумме квадратов трех его измерений. d²=a²+b²+c² Vпрям.пар.=abc Sб.п.=Росн.·h Sп.п.=Sп.п.+2Sосн.

Пирамида А ВС D S Пирамидой называют многогранник, состоящий из плоского многоугольника(основания пирамиды),точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды),и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Пирамида А ВС D S АВСD- основание пирамиды S-вершина SA,SB,SC,SD- боковые ребра ΔABS, ΔBSC, ΔCSD, ΔASD-бок.грани Высота пирамиды- перпендикуляр, опущенный из вер- шины пирамиды на плоскость основания. О SO=h-высота пирамиды Vпир.=1/3Sосн.·h Sп.п.=Sб.п.+Sосн.

Правильная пирамида Пирамиду называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. А В С S \ \ / / O M ΔABC-правильный О-точка пересечения медиан,центр апис. и опись.окружности. ABCD-квадрат О-точка пересечения диаконалей А В С ОМ D S A B C M D E F S O ABCDEF-прав. 6-угольн.О-точка пересечения диак. SO-высота пирамиды, SM-апофема

Правильная пирамида Свойства У правильной пирамиды боковые ребра равны и одинаково наклонены к плоскости основания. Боковые грани правильной пирамиды- равные равнобедренные треугольники, одинаково наклоненные к основанию. Sб.п.=1/2Росн.·SM, где SM-апофема Sб.п.=Sбок.гр.·n, где n-число граней Sп.п.=Sб.п.+Sосн. Vпир.=1/3Sосн.·h

Положение высоты в некоторых видах пирамид 1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к плоскости основания, или образуют равные углы с высотой пирамиды, то основание высоты пирамиды является центром окружности, описьанной около основания (и наоборот). А В С S O Γ SOAO,AO=Rопись. <SAO-угол наклона бок.ребра к плоскости основания

Положение высоты в некоторых видах пирамид 2. Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то основанием высоты пирамиды являет- ся центр окружности, аписанной в основание (и наоборот). А К С М В О S N <SKO=<SMO=<SNO, то ОК=ОМ=ОN=r (О- центр аписанной окружности)

Положение высоты в некоторых видах пирамид 3. Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основанием высоты пирамиды является точка, равноудаленная от всех прямых, содержащих стороны основания. А В С S O K M N Если в пирамиде SABC боковые грани одинаково наклонены к (АВС), т.е. <SMO=<SKO=<SNO-соответствующие линейные углы равны, и SО(АВС), то О-точка, равноудаленная от прямых АВ,ВС,АС.(ОК=ОМ=ОN).

Положение высоты в некоторых видах пирамид 4. Если только две боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию или боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания. А В С М К S ) ) ) ) Если в пирамиде SABC грани SAB и SAC одинаково наклонены к (АСВ),т.е. <SKO=<SMO или <SAB=<SAC и SO(ABC), то АО-биссектриса<ВАС

Положение высоты в некоторых видах пирамид 5. Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды будет высота этой грани. А О С В S Если в пирамиде SABC (SAC)(ABC) и SOAC (O Є AC), то SO-высота.

Положение высоты в некоторых видах пирамид 6. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро. В А С S Если (SAB)(ABC) и (SAC)(ABC), то SA-высота пирамиды.

Положение высоты в некоторых видах пирамид 7. Если две несмежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней. А В С ОD S Если (SAB) (ABC), (SCD) (ABC) и (SAB)(SCD)=SO, то SO –высота пирамиды.

Усеченная пирамида Если задана пирамида SABC и проведена (A 1 B 1 C 1 ) параллельная основанию пира- миды, то эта плоскость отсекает от данной пирамиды пирамиду SA 1 B 1 C 1, подобную данной. Другую часть данной пирамиды называют усеченной пирамидой А В С А1А1 В1В1 С1С1 S Грани АВС и А 1 В 1 С 1 –основания (АВС)ll(A 1 B 1 C 1 ), Боковые грани-трапеции.

Усеченная пирамида А В С А1А1 С1С1 В1В1 О Высотой усеченной пирамиды называют расстояние между плоскостями ее оснований. А 1 О (АВС), А 1 О-высота Vус.пир.=1/3h(S 1 +S 2 +S 1 S 2 ) S 1,S 2 -площади оснований

Цилиндр О О1О1 А А1А1 Х Х1Х1 Цилиндром называют тело, состоящее из двух кругов, не лежа- щих в одной плоскости и совме- щаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Основания цилиндра- круги Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,- образующие. В В1В1 АА 1,ВВ 1 - образующие

Цилиндр Цилиндр называют прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Свойства Основания цилиндра параллельны и равны. Образующие цилиндра параллельны и равны. Высота цилиндра равна образующей. Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси. Sосн.=πR² ; Sб.п.=2πRh ; Sп.п.=Sб.п.+2Sосн.=2πR(R+h) Vцил.=Sосн.·h=πR²h

Сечение цилиндра плоскостями АВСD-осевое сечение-прямоугольник AD=2R, AB=h А В С D O O1O1 K L M N O O1O1 (KLM)llOO 1, KLMN-прямоугольник KL=MN=h- образующие

Сечение цилиндра плоскостями Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Rсеч.=Rцил.

Конус S O X AB Конусом называют тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в плос- кости этого круга, и всех отрезков, соединяющих данную точку с точками круга. Круг-основание конуса S-вершина конуса Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окруж- ности основания,- образующие конуса. SA,SB-образующие конуса

Конус Конус называется прямым, если SO (AOB) S O AB Свойства Образующие конуса равны.SА=SB= SO- высота конуса. Конус образуется при вращении прямо- угольного треугольника вокруг его катета. Sосн.=πR² ;Sб.п.=πR ; Sп.п.=Sб.п.+Sосн.=πR(+R) Vкон.=1/3Sосн.·h=1/3πR²h

Сечение конуса плоскостями Осевое сечение А О В S ΔSAB-осевое сечение; ΔSAB-равнобедренный SA=SB=-образующие Сечение плоскостью, проходящей через вершину S О K M ΔSMK- равнобедренный; SM=SK=-образующие

Сечение конуса плоскостями О О1О1 S Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность- по окружности с центром на оси конуса. Rсеч. SO 1 R кон. SO =

Усеченный конус О О1О1 В А S Если в данном конусе проведена плоскость, параллельная его осно- ванию и пересекающая конус, то эта плоскость отсекает от него мень- ший конус.Оставшуюся часть дан- ного конуса называют усеченным конусом. Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями его оснований. ОО1=h ус.кон.

Усеченный конус Свойства О О1О1 К М Т Р Осевое сечение усеченного конуса- равнобокая трапеция, т.е. КМТР-трапеция,КМ=ТР. Усеченный конус образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпенди- кулярной основаниям. Sб.п.=π(R+r) Sп.п.=Sб.п.+Sос.+Sос=π(R+r)+πR²+πr² Vус.кон.=1/3πh(R²+Rr+r²)

Сфера и шар А R О Сферой называют тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии(R) от данной точки (О). О-центр сферы, ОА=R – радиус сферы. Sсф.=4πR² О А R Шаром называют тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на рас- стоянии, не большем данного (R), от дан- ной точки (О). О-центр шара; ОА=R-радиус шара Vшара=4/3πR³

Сечение шара плоскостью α О О1О1 А Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга- основание пер- пендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. О- центр шара; О 1 –центр круга сечения. ОО 1 α О R Сечение, проходящее через центр шара, называют большим кругом. Rб.кр.=Rшара