УЗЛЫ И КОСЫ Научный руководитель: учитель математики специалист I категории старший учитель Запорожского технического лицея «Выбор» Титова Ирина Анатольевна Выполнила: ученица 11Б класса Полухина Александра ПРОФИЛЬ: математика СЕКЦИЯ: прикладная математика

ВСТУПЛЕНИЕ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Исследовать теорию кос и узлов. В теории узлов экспериментально решить проблемы распутывания и сравнения узлов, т.е. найти алгоритм, который по любой диаграмме узла узнает, тривиален он или нет. ОБЬЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: Узлы, зацепления, косы и их полиномы. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ: Проанализировать научную и периодическую литературу по данной теме. Использование теорем об узлах и косах для решения экспериментальных задач, выводы на основе проделанной работы.

ЗАДАНИЯ НАУЧНОЙ РАБОТЫ Изучить понятия, виды узлов и кос. Установить связь между ними. Изучить теоремы об узлах и косах, их полиномы. Изучение алгебры узлов и кос. Нахождение инвариантов узлов для определения их тривиальности. Изучение зацеплений и кодировки узлов. Решение экспериментальных задач с помощью изученных теорем и леммы Рейдемейстера.

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАЗРАБОТКИ Изучение теорем об узлах и косах, их доказательства. Изучение теоремы Александера и Артина. Изучение леммы Рейдемейстера и применение доказанных в ней операций на практике. Распутывание с их помощью узлов. Изучение зацеплений узлов. Поиск инварианта узла для определения его тривиальности. В третьем разделе мною приведены решения экспериментальных задач с помощью операций Рейдемейстера. Изучила литературу по данной теме.

ПОНЯТИЕ УЗЛА УЗЕЛ – это ломаная, замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве(рис. 1) Самый простой узел – тривиальный (т.е. простая окружность). Рис. 1 Рис. 2

ПОНЯТИЕ КОСЫ Математическая коса состоит из п нитей (т.е. кривых в пространстве), которые начинаются в п точках горизонтальной прямой и заканчивается в п точках другой горизонтальной прямой, расположенной ниже (рис.3). При этом нити должны быть нисходящими, т.е. касательный вектор в любой точке кривой должен всё время «смотреть» вниз (рис.4), ему запрещается быть горизонтальным и тем более «смотреть вверх». Рис. 3 Рис. 4

СВЯЗЬ УЗЛОВ И КОС Теорема Александера: любой узел – это замкнутая коса Способ превратить косу в узел (рис.5): надо замкнуть её, т.е. соединить верхние концы нитей с нижними (не запутывая между собой соединяющие нити). Рис.5

РАЗВЯЗЫВАНИЕ УЗЛА С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАЦИЙ РЕЙДЕМЕЙСТЕРА