«Решение задач на построение»

Цели урока: П ривести в систему умения и навыки решения задач на построение; Подготовиться к контрольной работе.

Задача 1. Дан ΔАВС. постройте ΔMPK, в котором МР=2АВ, <M=<A, а высота КЕ равна высоте CD ΔАВС.

Построение: 1. На произвольной прямой а отложим отрезок МР, равный 2АВ. 2. От луча МР отложим <PMB равный <A. 3. Построим прямую b, удаленную от прямой а на расстояние равное СD. Прямая b пересекается с лучом МВ в точке К. 4. Соединим точки К и Р отрезком. ΔМРК – искомый.

Доказательство: В ΔМРК: МР = 2АВ, <M = <A, CD = KE.

Задача 2. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе, проведённой к основанию, и углу, противолежащему основанию.

Построение: 1. Построим <PAK=<hk и проведем его биссектрису AL. 2. На луче AL от точки А отложим отрезок AD, равный PQ. 3. Построим прямую b, перпендикулярную прямой AL и проходящую через точку D (т.к. биссектриса проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его высотой). 4. b в пересечении с АР = С, b в пересечении с АК = В, ΔАВС – искомый.

Доказательство: ΔАВС – равнобедренный, т.к. АВ = АС из равенства прямоугольных треугольников ΔАВD и ΔАСD по катету и прилежащему к нему углу.

Задача 3. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной к другому катету. Дано: катет PQ; медиана ST, проведённая к другому катету.

Построение: 1. Построим прямую а и прямую b, перпендикулярную ей и проходящую через произвольную точку С прямой. (<C=90°). 2. На прямой а от точки С отложить отрезок СВ, равный PQ. 3. Построим окружность с центром в точке В и радиусом равным ST. Окружность пересекается с прямой в точке М, ВМ – медиана искомого треугольника. 4. На прямой b отложим отрезок АМ=СМ. 5. Соединим точки А и В отрезком. ΔАВС – искомый

Доказательство ΔАВС – прямоугольный, в нём <C = 90° по построению, катет ВС равен PQ, медиана ВМ равна ST. (М – середина АС, т.к. АМ=МС).

Задача 4. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла. Дано: <hk – острый, PQ – высота, проведённая из вершины прямого угла.

Построение: 1.Построим: SAT = <hk. 2. Построим прямую а, удалённую от прямой АТ на расстояние равное PQ, а в пересечении AS = С. 3. Построим прямую b, перпендикулярную AS и проходящую через точку С. B в пересечении с АТ = В. ΔАВС – искомый.

Доказательство: ΔАВС – прямоугольный. (<C = 90° – по построению), в нём <A=<hk, а высота СD=PQ.

Задача 5. Постройте остроугольный треугольник по высоте и двум острым углам, которые эта высота образует со сторонами треугольника. Дано: <hk и <pl – острые углы, которые образует высота со сторонами треугольника, PQ – высота треугольника.

Построение: 1. На прямой а отложить отрезок AH, равный PQ. 2. От луча AH – по разные стороны от него построить <HAM=<(hk) и <HAN=<(lp). 3. Провести прямую b, перпендикулярную прямой a и проходящую через точку Н. 4. b в пересечении с АМ = В, b в пересечении с AN = С, ΔАВС – искомый.

Доказательство: В ΔАВС АН – высота по построению (а перпендикулярно b) и АН = PQ. Острые углы, которые образует АН со сторонами АВ и АС ΔАВС, равны <(hk) и <(lp) – соответственно.

Задача 6. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, который противолежит этому основанию. Дано: <hk – угол, противолежащий основанию, PQ – основание.

Построение: 1. Построим <MAN = <(hk). 2. Построим биссектрису AL угла <MAN. 3. Построим прямые а и b, удалённые от прямой AL на расстояние равное ½ PQ, и расположенные по разные стороны от неё. 4. АМ в пересечении с а = В, AN в пересечении с b=С. Соединим точки В и С отрезком. ΔАВС – искомый.

Доказательство: А параллельно AL, тогда <1 = <2; b параллельно AL, тогда <3 = <4. т.к. <2 = <4, то <1 = <3, а <ABC = <ACB, отсюда ΔАВС – равнобедренный.<BAC = <(hk) по построению, ВС = PQ, т.к. а параллельно b, а прямые а и b удалены на расстояние PQ.

Домашнее задание: I уровень: 315 (а, б, в); 314 II уровень: 315 (а, г, е); 317.