Системы счисления © К.Ю. Поляков, Введение Введение 2. Двоичная система Двоичная система 3. Восьмеричная система Восьмеричная система 4. Шестнадцатеричная система Шестнадцатеричная система 5. Другие системы счисления Другие системы счисления

Системы счисления © К.Ю. Поляков, Тема 1. Введение

3 Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, , CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…

4 Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

5 Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Десятичная египетская система счисления: – 1 – 10 – 100 – 1000 – – – чёрта хомут верёвка лотос палец лягушка человек = ?

6 Непозиционные системы Римская система счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

7 Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

8 Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 =

9 Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов номера месяцев

10 Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

11 Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

12 Позиционные системы Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46 x »? Определите основание системы счисления X. в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение 58 = 46 x = 46 x = 4·x 1 + 6·x 0 = 4·x = 4·x + 6x = 13

13 Позиционные системы Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство в записи есть цифра 5, поэтому x > 5 переводим в десятичную систему решаем уравнение 16 x + 33 x = 52 x x = x + 6 x = x = 5·x + 2 4·x + 9 = 5·x x = 3·x + 3

14 Позиционные системы Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 переводим в десятичную систему решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …) 21 x + 32 x > 102 x x = 2·x + 1 x = 4, x = x ·x + 3 > x x = 3·x + 2

Системы счисления © К.Ю. Поляков, Тема 2. Двоичная система счисления

16 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

17 Примеры: 131 =79 =

18 Примеры: = = Когда двоичное число четное? делится на 8? ?

19 Метод подбора = Разложение по степеням двойки: 77 = …+ 4 + … = разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 =

20 Перевод дробных чисел ,375 = 2 101, разряды = 1· · · ·2 -3 = ,25 + 0,125 = 5,375, ,75 2, ,5 2, ,7 = ? 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой = = 0, ,011 2

21 Примеры: 0,625 =3,875 =

22 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем –

23 Примеры:

24 Примеры: – – – – – – – –

25 Арифметические операции умножение деление – –

26 Плюсы и минусы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. двоичные числа имеют много разрядов; запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

27 Двоично-десятичная система BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде) 9024,19 = , BCD , , BCD = , BCD = 153,78 10 BCD BCD ,1 BCD = 15, ,1 2 = ,5 = 21,5 Запись числа в BCD не совпадает с двоичной! !

Системы счисления © К.Ю. Поляков, Тема 3. Восьмеричная система счисления

29 Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = система счисления разряды = 1· · ·8 0 = = 100

30 Примеры: 134 =75 = = 75 8 =

31 Таблица восьмеричных чисел X 10 X8X8 X2X2 X8X8 X2X

32 Перевод в двоичную и обратно трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{

33 Примеры: = = = =

34 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

35 Примеры: = = =

36 Арифметические операции сложение = 8 = = 12 = = 8 = в перенос в перенос

37 Пример

38 Арифметические операции вычитание – – (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем

39 Примеры – – – –

Системы счисления © К.Ю. Поляков, Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

41 Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, = 6B 16 система счисления 1C разряды = 1· · ·16 0 = = 453 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 B B C C

42 Примеры: 171 = 206 = 1BC 16 = 22B 16 =

43 Таблица шестнадцатеричных чисел X 10 X 16 X2X2 X 10 X 16 X2X A B C D E F1111

44 Перевод в двоичную систему трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{

45 Примеры: C73B 16 = 2FE1 16 =

46 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF 16

47 Примеры: = = =

48 Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

49 Примеры: A35 16 = =

50 Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 A 5 B 16 + C 7 E D =25= =13=D =22= в перенос 13961

51 Пример: С В А 16 + A С В А 16 + A

52 Арифметические операции вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 С 5 B 16 – A 7 E 16 заем 1 D D – – (11+16) – 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 131

53 Пример: 1 В А 16 – A В А 16 – A

Системы счисления © К.Ю. Поляков, Тема 5. Другие системы счисления

55 Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

56 Троичная уравновешенная система + 1 гиря справа 0 гиря снята – 1 гиря слева Веса гирь: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг ур = Реализация: ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958) 50 промышленных образцов 40 Троичная система! !

57 Конец фильма