1. Общее понятие о системах счисления 1. Общее понятие о системах счисления 2. Двоичная система счисления 2. Двоичная система счисления 3. Восьмеричная система счисления 3. Восьмеричная система счисления 4. Шестнадцатеричная система счисления 4. Шестнадцатеричная система счисления Позиционные Системы счисления

1. Общее понятие о системах счисления 1. Общее понятие о системах счисления Числа: 123, 45678, , CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит от ее места (позиции) в записи числа

Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная)

Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0

Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут) (Вавилонская)

Появление нуля Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия цифры 0 для обозначения отсутствующей величины. Для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ 0 (первая буква греческого слова Ouden – ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

2. Двоичная система счисления Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

Метод подбора 10 2 наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу разряды 64 = 2 6 = = = = 2 3 = < = = 2 2 = = 1 1 = 2 0 = = =

Перевод дробных чисел ,375 = 2 101, разряды = 1· · · ·2 -3 = ,25 + 0,125 = 5,375, ,75 2, ,5 2, ,7 = ? 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой = = 0, ,011 2

Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= =0 0+1=1 1+0=1 1+1= =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 умножение 0*0=0 0*1=1 1*0=0 1*1=1 0*0=0 0*1=1 1*0=0 1*1=1

Плюсы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.

простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; двоичные числа имеют много разрядов; запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать. Минусы двоичной системы Контрольные вопросы и задания по разделу «Двоичная система счисления» Контрольные вопросы и задания по разделу «Двоичная система счисления»

3. Восьмеричная система 3. Восьмеричная система = система счисления разряды = 1· · ·8 0 = = 100 Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Перевод в двоичную и обратно трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{ ТТТТ аапа боб лол ии ввц аапа в в в в ооо сс ьььь мм ее рр ии чччч инн ыыыы хох ч ч ч ч ии сс ее лол

Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

Арифметические операции сложение = 8 = = 12 = = 8 = в перенос в перенос

вычитание – – (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заем Контрольные вопросы и задания по разделу «Восьмеричная система счисления» Контрольные вопросы и задания по разделу «Восьмеричная система счисления»

4. Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, = 6B 16 система счисления 1C разряды = 1· · ·16 0 = = 453 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 B B C C

Перевод в двоичную систему трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{ ТТТТ аапа боб лол ии ввц аапа ш ш ш ш ее сс тот инн аапа ддт ввц аапа тот ее рр ии чччч инн ыыыы хох ч ч ч ч ии сс ее лол

Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF 16

Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

Арифметические операции сложение A 5 B 16 + C 7 E 16 A 5 B 16 + C 7 E D =25= =13=D =22= в перенос 13961

вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 С 5 B 16 – A 7 E 16 заем 1 D D – – (11+16) – 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1 заем 131

Контрольные вопросы и задания по разделу «Шестнадцатеричная система счисления» Контрольные вопросы и задания по разделу «Шестнадцатеричная система счисления» Итоговые вопросы и задания по теме «Системы счисления» Итоговые вопросы и задания по теме «Системы счисления» Список используемой литературы Список используемой литературы