Тела вращения

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ АВТОР: Землянникова С.В., преподаватель математики ГОБУ НПО ВО ПЛ55

Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси.

Цилиндр Прямой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

а b

a=R b=H

ЭЛЕМЕНТЫ ЦИЛИНДРА H R R – радиус цилиндра Вращающаяся сторона прямоугольника H – высота цилиндра Сторона прямоугольника, вокруг которой происходит вращение Основные элементы О О1О1

ЭЛЕМЕНТЫ ЦИЛИНДРА H R R – радиус цилиндра Вращающаяся сторона прямоугольника H – высота цилиндра Сторона прямоугольника, вокруг которой происходит вращение Основные элементы Другие элементы - Центр основания О, О 1 - Ось вращения ОО 1 - Поверхность цилиндра (основания, боковая поверхность) - Сечения О О1О1

Осевое сечение S ос.сеч =2RH 2R H Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра О ОО N A B C D Прямоугольник S=AB·BC,где BC=H, AB=2·BN, BN найдем из ΔONB по т.Пифагора BN 2 =OB 2 -ON 2

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию Круг равный основанию S сеч =πR 2

Сечение цилиндра плоскостью, расположенной под углом к основанию Эллипс

Развёртка цилиндра S осн =πR 2 S бок =2πRH S п.п =2S осн +S бок Боковая поверхность с=2 π R H основание

Конус Прямой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

a- катет b- катет c- гипотенуза a b с

a b с

a b с

a b с

a b с

a b с

a b с

a b с b= a= H с=с= R

H R ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Основные элементы R – радиус конуса Другой катет треугольника H – высота конуса Катет треугольника, вокруг которого происходит вращение - образующая конуса Гипотенуза треугольника

H R ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Другие элементы -Центр основания О - Вершина конуса S - Ось вращения ОS - Поверхность конуса (основание, боковая поверхность) - Сечения S O

Осевое сечение 2R2R H S ос.сеч = 2RH Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса, называется осевым сечением. S ос.сеч =RH

Сечения конуса Плоскостью, проходящей через вершину на расстоянии от центра основания Плоскостью, параллельной основанию

Развёртка конуса Основание Боковая поверхность C=2 πR S осн =πR 2 S бок =πR S бок = 2πR S п.п =S осн +S бок

Усеченный конус R1R1 R2R2 H L S бок =π(R 2 +R 1 )L, где L- образующая усечённого конуса

Шар Шар получается вращением полукруга вокруг диаметра

R

R V = πR 3

Сфера Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Уравнение сферы

H Шаровой секмент Sш.сек=2πRH

Шаровой слой H

HH Шаровой секмент Шаровой слой Поверхность шарового слоя называется шаровым поясом S ш.сл=2πRH S ш.сек=2πRH