Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 1. Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) 2. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы 3. Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

Вспомним: а b а

a haha a bc a b Площадь треугольника

Площадь трапеции h a b Площадь параллелограмма h a

Площадь круга r Площадь кругового сектора rα

Длина окружности r Длина дуги окружности rα

Сложение векторов Правило треугольника: А В С Для любых трех точек A,B,C имеет место равенство

Разность векторов

1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2. Найдите (в см 2 ) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.).

3. Найдите (в см 2 ) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/π.

4. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;8), (8;10).

5. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1;7), (4;1), (4;4), (1;10).

6. Найдите (в см 2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/π.

7. Найдите площадь сектора круга радиуса, центральный угол которого равен 90˚.

8. Периметр треугольника равен 88, а радиус вписанной окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

9. Площадь сектора круга радиуса 15 равна 105. Найдите длину его дуги.

10. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150. Боковая сторона треугольника равна 19. Найдите площадь этого треугольника

11. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-2;0)и (0;11). 12. Площадь сектора круга радиуса 15 равна 105. Найдите длину его дуги. 13. Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(-6,3) относительно начала координат.

14. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 116, а отношение соседних сторон равно 4: Площадь параллелограмма равна 36, две его стороны равны 12 и 24. Найдите большую высоту этого параллелограмма. 16. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 градусов. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1521.

17. Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 21 х-20 у=60, с осью Oy. 18. Две стороны прямоугольника ABCD равны 9 и 40. Найдите длину суммы векторов АВ и AD.

19. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (5; 10), (5;2), (-1;2), (-1;10).

Диагонали ромба ABCD равны 48 и 55. Найдите длину вектора. А В С D

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;1), (10;1), (9;9), (6;9). Реши самостоятельно:

Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 36 и 4. Найдите площадь трапеции. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 289. Площадь сектора круга радиуса 41 равна 123. Найдите длину его дуги. Найдите площадь сектора круга радиуса, центральный угол которого равен Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами и.

Точки O(0,0),,, являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно,,,. Диагонали ромба ABCD равны 42 и 56. Найдите длину вектора. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите (в см 2 ) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите.

В7 Уметь выполнять вычисления и преобразования

Найдите значение выражения: при. Найдите значение выражения: Найдите значение выражения: при. Найдите значение выражения:

Найдите значение выражения Найдите, если и Найдите значение выражения, если. Найдите, если. Найдите значение выражения, если.

Найдите, если. Найдите, если, при.

В8

На рисунке изображен график y=f '(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-5;5). В какой точке отрезка [-1;4] f(x) принимает наименьшее значение.

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-3;10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-8:5). В какой точке отрезка [-3;2] принимает наибольшее значение?

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-2;20). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-1;18].

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-3;8). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-6;8). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-8;6). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график y=f(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-3;11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-x+19 или совпадает с ней.

На рисунке изображен график y=f(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-7;4). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=10 с Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 33 м/с?

В9 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Если каждое ребро куба увеличить на 4, то его площадь поверхности увеличится на 240. Найдите ребро куба. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза? Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в четыре раза? Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 3. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в семь раз?

Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. Ответ дайте в градусах. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 49. Найдите расстояние между точками и. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 30. Найдите угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Найдите угол многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

В10 Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону, где коэффициент теплового расширения, температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана в пределах от 180 до 210 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Автомобиль, масса которого равна кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остается неизменным, и проходит за это время путь метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2800 Н. Ответ выразите в секундах.

Трактор тащит сани с силой кН, направленной под острым углом к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м вычисляется по формуле. При каком максимальном угле (в градусах) совершенная работа будет не менее 4000 к Дж?

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:, где U напряжение в вольтах, R сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 22 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 296 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле, где м/с скорость звука в воде, частота испускаемых импульсов (в МГц), f частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 20 м/с.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле, где ( км) радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в километрах.

В11 Уметь выполнять действия с функциями

Найдите наименьшее значение функции на отрезке. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. Найдите точку максимума функции. Найдите точку максимума функции Найдите точку максимума функции. Найдите наименьшее значение на отрезке.

Найдите точку максимума функции. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. Найдите точку минимума функции.

В12 Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. На изготовление 9 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 45 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 35 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 187 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 672 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 55 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Заказ на 306 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 570 литров она заполняет на 11 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 660 литров? В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 5%, а в 2010 году на 5% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рубль

Дима, Артем, Гриша и Игорь учредили компанию с уставным капиталом рублей. Дима внес 24% уставного капитала, Артем рублей, Гриша 0,22 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Игорь. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли рублей причитается Игорю? Ответ дайте в рублях. Смешав 32-процентный и 84-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 34-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 32-процентного раствора использовали для получения смеси? Рабочие прокладывают тоннель длиной 270 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 6 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 12 дней.

Грузовик перевозит партию щебня массой 288 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на тринадцатый день, если вся работа была выполнена за 16 дней. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2005 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2006 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 100 метрам? Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 4 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 54 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 45 км. Ответ дайте в км/ч. Первый час автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие три часа со скоростью 65 км/ч, а затем один час со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам 24 секундам. Ответ дайте в метрах. Первый насос наполняет бак за 32 минуты, второй за 1 час 12 минут, а третий за 1 час 36 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 5 минут, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 33 литра воды? Олег и Алексей выполняют одинаковый тест. Олег отвечает за час на 10 вопросов теста, а Алексей на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Олег закончил свой тест позже Алексея на 29 минут. Сколько вопросов содержит тест?