Решение уравнений и неравенств с параметрами в основной школе Разработчик: Демина Л.Н., учитель математики первой квалификационной категории.

Содержание элективного курса «Параметры» Тема Часы 1. Параметры в уравнениях 1 2. Решение линейных уравнений с параметрами 2 3. Решение квадратных уравнений с параметрами 3 4. Параметры в неравенствах 1 5. Решение линейных неравенств с параметрами 2 6. Решение квадратных неравенств с параметрами 3

Пример 1. Сравнить: –а и 3 а. Рассмотрим три случая: 1).если а 3 а; 2).если а = 0, то –а = 3 а; 3).если а > 0, то -а < 3 а. Ответ: записывается полностью.

Основные определения Рассмотрим уравнения и неравенства вида F(а, х)=G(а, х) и F(а, х)>G(а, х),где а, х -переменные величины. Любые значения а и х, при которых обе части уравнения или неравенства принимают действительные значения называются допустимыми. Переменная а, которая при решении уравнения (неравенства) считается постоянной, называется параметром, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметр.

Допустимые значения m, n- параметры, x-неизвестное. Допустимыми являются любые действительные значения m, n и x, удовлетворяющие условию m 3, n -1,n0, x0 (деление на нуль невозможно). Пример 2.

Решение уравнений с параметрами Решить уравнение f(а, х) = g(а, х) – значит на множестве действительных чисел решить все уравнения, получаемые из данного при всех допустимых значениях параметра а. Два уравнения,содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если а)они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б)каждое решение первого уравнения, является решением второго и наоборот.

Основные теоремы о равносильности уравнений Теорема 1. Уравнения F(x)= G(x) (1) и F(x)+K(x)= G(x)+K(x) равносильны, если K(x) существует в области определения уравнения (1). Теорема 2. Если обе части уравнения F(x)= G(x) умножить на выражение K(x) существующее в области определения уравнения (1), то получим уравнение, равносильное данному. (K(x) 0)

Алгоритм решения уравнений с параметрами 1. Указать ОДЗ для неизвестного х и параметра а. 2. Определить формальные решения уравнения. Указать ОДЗ для параметра. 3. Нанести на числовую ось контрольные значения параметра. 4. Решить на каждом из полученных промежутков заданное уравнение. 5. Записать ответ, то есть решения в зависимости от значений параметра.

Линейные уравнения Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах+в=0, где а и в любые числа(коэффициенты). 1. Если a =0 и в=0, т. е. уравнение имеет вид Ох+0=0,то корнем уравнения является любое действительное число(бесконечное множество корней). 2. Если а=0 и b 0, т. е. уравнение имеет вид ox+в=0,то уравнение корней не имеет 3. Если a 0,то уравнение имеет единственный корень, х =-

Пример 6. При каком значении параметра в уравнение (в+5) x 2 + (2 в+10)х+4=0 имеет только один корень? Решение: 1).если в+5=0, в=-5, то уравнение примет вид 4=о, решений нет; 2).в+50, уравнение имеет только один корень, если Д=0; Д=в 2 +6 в+5; в=-1, в=-5-решений нет. Ответ: в=-1.

Пример 9. Решите неравенство: а (ах-4 х)>а+2-4 х. Решение. Линейное неравенство. ОДЗ. х- любое число. (а-2) (а-2)х>а+2, х>(а+2)/(а-2)(а-2). ОДЗ, а 2. Если а=2,то 0 х>4, решений нет. Если а 2,то х>(а+2)/(а-2)(а - 2) Ответ: записать полностью

Свойства графика квадратичной функции при решении квадратных неравенств 1. Если а>0, то графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, если а<0, то ветви параболы направлены вниз. 2. Если Д>0, то график имеет две точки пересечения с осью абсцисс, если Д=0, то вершина параболы лежит на оси абсцисс, если Д<0, то точек пересечения с осью абсцисс нет. 3. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле –b\2 а.