Разработан учителем математики высшей категории Шакула Татьяной Тимофеевной

Среднее арифметическое, размах и мода. Имея ряд чисел: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25, мы можем определить среднее арифметическое этих чисел: Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. ЗАПОМНИ! Среднее арифметическое находят только для однородных величин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что числа значительно отличаются от 27, т. е. среднего арифметического. Наибольшее число 37, а наименьшее – 18. Разность между наибольшим и наименьшим числами составляет 19. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Модой ряда чисел называется число, наиболее встречающееся в данном ряду. Таким числом в нашем случае является число 25.

Медиана как статистическая характеристика. Медианой Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Например: Из нечетного числа членов: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93. медиана или из четного числа членов: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93 среднее арифметическое медиана

Сбор и группировка статистических данных. Для изучения различных общественных и социально – экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. ПРИМЕР:Администрация школы решила проверить математическую подготовку восьмиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел: 6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8. Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9. Представим полученные данные в виде таблицы: Число верно выполненных заданий Частота Такую таблицу называют таблицей частот.

Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот. Таблица относительных частот выглядит следующим образом: Число верно выполненных заданий Относительная частота, % 2,52,52,5512, ,512,510 Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот становятся излишне громоздкими. В таком случае для анализа данных строят интервальный ряд. Например, на партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу: Продолжительность горения, ч Частота До – – – – – –

Наглядное представление статистической информации. Одним из способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы. Например: В таблице показан расход электроэнергии ( с точностью до 5 к Вт ч) некоторой семьи в течении года: Месяц IIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXII Расход электроэнергии, к Вт ч IIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXII месяц

Для наглядного изображения соотношений между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы. Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным для каждой группы данных.

Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном. Например, следующие данные о производстве заводом проборов в первом полугодии 2002 г. (по месяцам):МесяцIIIIIIIVVVI Число приборов (тыс. шт.) 2,32,32,32,32,22,52,62,81,9 месяц

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Например, построим гистограмму, характеризующего продолжительность горения 50 электроламп: частота продолжительность горения ламп, ч

Элементы комбинаторики. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называются комбинаторикой. Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Чтобы ответить на вопрос задачи, выпишем все такие числа. Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 3, 5, 7. Запишем, например, на втором месте цифру 3. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим два числа 135 и 137. Если на втором месте записать цифру 5, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 3 или 7. Таких чисел можно составить шесть: 135, 137, 153, 157, 173, 175. Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 3, с цифры 5, с цифры 7.

Перестановки. Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом Р n (читается «Р из n») Р n = (n – 2) (n – 1) n Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение: n! (читается «n факториал»). Например: 2! = 1 2 = 2; 5! = = 120. По определению считают, что 1! = 1. Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Р n = n! Например: Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р 8 = 8! = = Значит, существует способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Размещение. Размещением из n элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Число размещений из n элементов по k обозначают (читают: «А из n по k») = n (n – 1) (n – 2)... (n – (k – 1)) Например: Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого любо предметами, либо порядком следования предметов. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 8 элементов по 4. Имеем: = = Расписание можно составить 1680 способами.

Сочетания. Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Число сочетаний из n элементов по k обозначают (читают «С из n по k») = Например: Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Имеем: Следовательно, трех дежурных можно выбрать 455 способами.

Вероятность случайного события. Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Рассмотрим такой пример: Бросают игральный кубик, т. Е. небольшой куб, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании игрального кубика на его верхней грани может попасть одно очко, два очка, три очка и т. Д. Каждый из этих исходов является случайным. Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное, называют относительной частотой этого события. Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. В отличие от статистического определения вероятности это определение называют классическим определением. Например: Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене 25. Пусть М – событие, заключающееся в том, что ученику достанется на экзамене билет, к которому он не подготовился. Число благоприятных для события М исходов (но не для ученика) равно 25 – (11 + 8), т. Е. 6. Значит: Р(М) = = 0,24

Сложение и умножение вероятностей. Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместимых событий: А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В. Р(С) = Р(А) + Р(В) Сумма вероятностей противоположных события равна 1. Р(А) + Р(В) = 1 Два события называются независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступления или не наступления другого. Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В. Р(С) = Р(А) Р(В)