Тема 4. Вероятностные методы анализа и синтеза измерительных каналов Содержание 1 Классификация погрешностей 2 Принципы оценивания погрешностей 3 Математические модели и характеристики погрешностей 4 Систематические погрешности 5 Случайные погрешности. Вероятностное описание случайных погрешностей 6 Правила округления результатов измерений 7 Результат измерения. Формы представления результатов измерения

1 Классификация погрешностей Истинное значение физической величины это значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. На практике это абстрактное понятие приходится заменять понятием "действительное значение". Действительное значение физической величины значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины, найденную путем измерения. Понятие "погрешность" одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность результата измерения" и "погрешность средства измерения". Погрешность результата измерения это разница между результатом измерения X и истинным (или действительным) значением Q измеряемой величины: Она указывает границы неопределенности значения измеряемой величины. Погрешность средства измерения разность между показанием СИ и истинным (действительным) значением измеряемой ФВ. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам. 1. По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические и грубые (промахи). Случайная погрешность составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. Систематическая погрешность составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ.

Грубая погрешность (промах) это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. 2. По способу выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности. Абсолютная погрешность описывается формулой и выражается в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины: Приведенная погрешность это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому значению Q N, постоянному во всем диапазоне измерений его части: Условно принятое значение Q N называют нормирующим. Чаще всего за него принимают верхний предел измерений данного СИ, применительно к которым и используется главным образом понятие "приведенная погрешность". 3. В зависимости от места возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности. Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью применяемого СИ. Иногда эту погрешность называют аппаратурной. Методическая погрешность измерения обусловлена отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения; влиянием способов применения СИ; влиянием алгоритмов (формул), по которым

производятся вычисления результатов измерений; влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерения. Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам СИ, диаграммам регистрирующих приборов. Они вызываются состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами СИ. 4. По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 1): аддитивные Δ а (не зависящие от измеряемой величины); мультипликативные Δ м (которые прямо пропорциональны измеряемой величине); нелинейные Δ н (имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины). Рис.1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности. 5. По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин. 6. В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность это погрешность СИ, применяемого для измерения ФВ, принимаемой за неизменную. Динамической называется погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении переменной ФВ и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

2 Принципы оценивания погрешностей Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Точность результата измерения характеризуется погрешностью. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств. Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные. К точечным относятся СКО случайной погрешности и предел сверху для модуля систематической погрешности, к интервальным границы неопределенности результата измерения. Если эти границы определяются как отвечающие некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. В- третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить. В-четвертых, стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные. Оценивание погрешностей может проводится до (априорное) и после (апостериорное) измерения. Априорное оценивание это проверка возможности обеспечить требуемую точность измерений, проводимых в заданных условиях выбранным методом с помощью кон­ кретных СИ. Апостериорную оценку проводят в тех случаях, когда априорная оценка неудовлетворительна или получена на основе типовых метрологических характеристик, а требуется учесть индивидуаль­ные свойства используемого СИ.

3 Математические модели и характеристики погрешностей В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов. Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t 0 является случайной величиной X(t 0 ). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис.4). Рис. 4. Вид случайных функций Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значений времени t 0 представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t 0. Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись

характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t). Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения. Корреляционная функция неслучайная функция R(t, t') двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса: Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени τ = t'-t. На практике часто используется нормированная корреляционная функция Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными.

Для стационарного случайного процесса дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е.. Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.. Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t', а только от промежутка., т.е. Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(ω): Корреляционная функция может быть выражена через спек­тральную плотность Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени. Математическое ожидание эргодического процесса может быть найдено по формуле: Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле: Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле:

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться. В общем случае абсолютную погрешность измерения Δ(t) следует представлять в виде суммы нескольких составляющих: Систематическая составляющая Δ s (t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфранизкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность Δ s (t) условно принимают за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны. Составляющая Δ(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена две составляющие: Δ oв (t) и Δ он (t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки. Составляющая Δ 0 является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины Δ 0B (t) и Δ 0 могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию Δ(t).

Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде Эффективное использование рассмотренной модели погрешностей измерения возможно только при известном частотном спектре составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория веро­ятностей и математическая статистика.

4 Систематические погрешности Систематическая погрешность составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ. Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам. По характеру изменения во времени они делятся на постоянные и переменные. Постоянными называются такие погрешности измерения, которые остаются неизменными в течение всей серии измерений. Переменными называются погрешности, изменяющиеся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющиеся, периодические и изменяющиеся по сложному закону. Если в процессе измерения систематическая погрешность монотонно возрастает или убывает, ее называют монотонно изменяющейся. Периодической называется погрешность, значение которой является периодической функцией времени. Систематические погрешности могут изменяться и по более сложному закону, обусловленному какими-либо внешними причинами. По причинам возникновения погрешности делятся на методические, инструментальные и личные (субъективные). Методические погрешности возникают вследствие несовершенства, неполноты теоретических обоснований принятого метода измерения, использования упрощающих предположений и допущений при выводе применяемых формул, из-за неправильного выбора измеряемых величин (неадекватно описывающих модели интересующих свойств объекта). Инструментальные погрешности обуславливаются свойствами применяемых средств измерений (стабильностью, чувствительностью к внешним воздействиям и т.д.), их влиянием на объект измерений, технологией и качеством их изготовления (например неточность градуировки, конструктивные несовершенства и т. д.). Субъективные погрешности вызываются состоянием оператора, проводящего измерения, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами средств измерений – все это сказывается на точности визирования.

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями: устранением источников погрешностей до начала измерений и определением поправок и внесением их в результат измерения. Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности. Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы: Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками. Метод рандомизации наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы. Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "-" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность. Графический метод заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. При проведении автоматических измерений широко используются схемные методы коррекции систематических погрешностей, например, компенсационное включение преобразователей, различные цепи температурной и частотной коррекции и др. Новые возможности появились в результате внедрения в измерительную технику средств, содержащих микропроцессорные системы. С помощью последних удается производить исключение или коррекцию многих видов систематических погрешностей. Особенно это относится к инструментальным погрешностям. Автоматическое введение поправок, связанных с неточностями градуировки, расчет и исключение дополнительных погрешностей, исключение погрешностей, обусловленных смещением нуля – эти и другие корректировки позволяют существенно повысить точность измерений.

5 Случайные погрешности. Вероятностное описание случайных погрешностей Случайная погрешность составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных результатов при многократно повторенных измерениях и появлением случайных событий. Из теории вероятностей известно, что для описания случайных величин, пользуются законами ее распределения. Под законом распределения случайной величины понимают любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины Х и соответствующими им вероятностями. Часто применяют на практике для дискретных и непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде функции распределения. Функция распределения F(x) (интегральная) определяется вероятностью того, что случайная величина Хi в i опыте примет значение, меньшее некоторого значения х Для описания распределения непрерывных случайных величин часто пользуются первой производной функции распределения F(x), которую называют плотностью распределения. Плотностью вероятности Р(х) (дифференциальная функция распределения) определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение внутри бесконечно малого промежутка от х до х+dх к величине этого промежутка dх, когда dх 0.

Функция распределения выражается через плотность вероятности Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (Х 1, Х 2 ) определяется как Рис. 1. Интегральный а) и дифференциальный б) законы распределения непрерывной случайной величины Статистическое описание случайной величины законами распределения достаточно сложно. На практике ограничиваются числовыми характеристиками законов распределения случайной величины, которые характеризуют определенные свойства этих законов распределения. Математическое ожидание случайной величины (ее среднее значение) определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать

Модой M 0 [X] называют значение случайной величины, имеющее у дискретной величины наибольшую вероятность, а у непрерывной – наибольшую плотность вероятности. Медианой случайной величины X называют такое ее значение M e [X], для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше M e [X]. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания и для дискретной случайной величины запишется как Для непрерывной случайной величины дисперсия запишется как Средним квадратичным отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии Одним из наиболее часто употребляемых в метрологической практике теоретических законов распределения погрешностей измерения является нормальный закон распределения, обладающий двумя свойствами: симметрии и монотонного убывания плотности вероятности. Нормальное распределение центрированной случайной величины (погрешности) при M(Δ)=0 является одномодальным и описывается выражением: Для нормального закона распределения вероятность нахождения погрешности между значениями X1 и X2 определяется разностью соответствующих значений функции распределения

Нормальный закон реализуется в тех случаях, когда погрешность измерений обуславливается большим числом случайных факторов (более 4), каждый из которых вносит свою приблизительно одинаковую с другими долю в общую погрешность. При этом законы распределения составляющих погрешностей могут быть самыми различными (равномерными, треугольными, трапециидальными, экспоненциальными и др.). На практике для выполнения расчетов применяют нормированную функцию Лапласа, называемую также интегралом вероятностей где. Тогда расчетную вероятность нахождения погрешности в заданных границах (Х1, Х2) можно найти используя табличные значения аргумента функции Лапласа как где,. Использование этой формулы позволяет рассчитать границы интервала (доверительного интервала) в котором с определенной вероятностью, (доверительной вероятностью) находится результат измерения. Основными точечными характеристиками погрешности измерений, которые оцениваются расчетным путем (до проведения измерений) по характеристикам используемых методов и средств измерений или по результатам измерений (после осуществления измерительного процесса), являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Оценкой математического ожидания случайной величины является среднее арифметическое значение измеряемой величины

Точечная оценка дисперсии находится как Для получения характеристики рассеивания результатов вокруг среднего арифметического значения в абсолютных единицах используют среднее квадратичное отклонение Полученные оценки математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение являются случайными величинами. Поэтому для оценки разброса используют СКО Точечные оценки, характеризующие параметры распределения в виде чисел обычно используют при большом объеме выборки. С уменьшением объема выборки степень их достоверности уменьшается, поэтому переходят к интервальным оценкам, позволяющим определить интервал (доверительный), в котором с заданной вероятностью (доверительной) находится истинное значение оцениваемого параметра. Вероятность того, что действительное значение измеряемой величины Х находится внутри доверительного интервала называется надежностью β при заданной точности. В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратичным отклонением часто пользуются доверительным интервалом от +3 до -3, для которого доверительная вероятность (по статистическим таблицам значений функции Лапласа) равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3.

6 Правила округления результатов измерений Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Эмпирически были установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения. 1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной - если первая цифра равна 3 или более. 2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности. 3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. 4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. 5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

7 Результат измерения. Формы представления результатов измерения Результат – значение ФВ, полученное путём измерения. Результат измерения представляется именованным или неименованным числом. Результат измерения пригоден для дальнейшего использования лишь тогда, когда помимо измеренного значения физической величины в нем указывается и значение погрешности. Конечный результат измерений согласно ГОСТ представляется в одной из четырех форм: 1) интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения; 2) интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая погрешности, стандартной аппроксимацией функции распределения случайной составляющей погрешности измерения и средним квадратичным отклонением случайной составляющей погрешности измерения; 3) стандартными аппроксимациями функции распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения и их средними квадратичными отклонениями; 4) функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения. Выбор формы представления результата измерения определяется назначением измерений и характером использования их результатов.