«О, искатели постоянного движения, сколько пустых проектов создали вы… Прочь идите с искателями золота!» Леонардо да Винчи (Forst.II, 67, стр.14)

Золота пропорція ( золотий перетин )– гармонійна пропорція У математику пропорцією (лат. proportio) називають рівність двух відношень: a : b = c : d. Відрізок прямої АВ можно розділити на дві частини такими способами: на дві рівні частини – АВ : АС = АВ : ВС; на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють); таким чином, коли АВ : АС = АС : ВС. Золотий перетин – цей такой пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якому увесь відрізок так відноситься до більшої частини, як більша частина відноситься до меншої; обо інакше кажучи, меньший відрізок так відноситься до більшого, як більший до цілого a : b = b : c обо с : b = b : а. Цю пропорцію прийнято позначати грецькою буквой φ. Вона дорівнює:

Греческая буква «фи», первая буква имени Фидиас (Phidias), введённая для обозначения золотого сечения Марком Баром в начале 20 в.; заглавная буква обычно используется для обратного отношения: Ф=1/φ Фидиас(Phidias) (490–430 BC) создал статуи Парфенона, которые своими пропорциями воплощают золотое сечение. Платон (427–347 BC) в своем труде Timaeus описывает пять возможных правильных геометрических тел (Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), часть из которых имеет отношение к золотому сечению. Евклид (325–265 BC) в своих Элементах дал первое письменное определение золотого сечения, которое в переводе было названо «деление в крайнем и среднем отношении (extreme and mean ratio)» (греч. ακροςκαιμεσοςλογος). Фибоначчи (Fibonacci) (1170–1250) открыл числовой ряд, теперь называемый его именем, который тесно связан с золотым сечением. Фра Лука Пачоли(Fra Luca Pacioli) (1445–1517) совместно с Леонардо определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)». Леонардо да Винчи (1451–1519) совместно с Пачоли определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)» и, по-видимому, ввел термин золотое сечение (лат. gold aurea); см. Vitruvian Man. Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1571–1630) называет золотое сечение "драгоценным камнем": «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем». Чарльз Боне (Charles Bonnet) (1720–1793) указывает, что в спиралях растений, закрученных по и против часовой стрелки, часто обнаруживается ряд Фибоначчи. Мартин Ом (Martin Ohm) (1792–1872) был первым, кто систематически использовал слова золотое сечение для описания этого отношения. Эдвард Лукас (Edouard Lucas) (1842–1891) вводит числовую последовательность, теперь известную как последовательность Фибоначчи в её нынешнем виде. Марк Барр (Mark Barr) (20 в.) вводит «Ф» первую греческую букву имени Фидиас для обозначения золотого сечения. Роджер Пенроуз (Roger Penrose) (р.1931) открывает симметрию, использующую золотое сечение в области «апериодических черепиц», которая привела к новым открытиям в квазикристаллах.

В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (то есть отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны φ) ). Звездчатый десятиугольник Геометрическое построение Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда

Для досягнення гармонії в творах мистецтва (в том числі і в архітектурі) повинен виконуватись принцип Геракліта:«із всього єдине, з єдиного все". Насправді. гармонія в архітектурному творі заложить не стільки від розмірів самої споруди, скільки від співвідношень між розмірами складових його частин. Для того щоб виконувався основной принцип гармонії "все у всьому", взаємозвязок частин і цілого в архітектурному творі повинна мати єдиний математичний вираз. Як приклад розглянемо пропорції однієї з перлин давньоруської архітектури храму Василя Блаженного в Москве. За "ціле" a = 1 прийнята высота храму. Пропорції храму визначаються вісьмома членами ряду золотої пропорції.

Будинок Пашкова – один з найбільш досконалих творінь архітектури В. Баженова

Одним з найкрасивіших споруд давньогрецької архітектури є Парфенон (V в. до н. е.) На малюнках видно цілий ряд закономірностей, повязаних з золотою пропорцією. Пропорції будівлі можно выразить через різні степені числа Ф=0, На плані підлоги Парфенона також можно помітити "золоті прямокутники": Золоту пропорцію ми можемо побачити і в будівлі собору Парижскої Богоматері (Нотр-дам де Парі)

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Что касается пирамид, не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид. На поперечном сечении пирамиды видна форма, подобная лестнице.В первом ярусе 16 ступеней, во втором 42 ступени и в третьем - 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим образом: 16 x = = x = = 68

Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи). Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права …" состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк. Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции Роман «Евгений Онегин» состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!

Э. Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них "золотое сечение". Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром …"), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением. Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Леонардо изображает обнаженную мужскую фигуру в двух наложенных положениях с разведенными руками, одновременно вписанную и в круг, и в квадрат. Центр круга, находящийся в пупке, делит тело на большую и меньшую верхнюю часть в золотой пропорции. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках". Прямоугольник с соотношением сторон 0,618 и 0,382. стали называть золотым прямоугольником: если от него последовательно и до бесконечности от ­ резать квадрат, то всегда останется золотой прямоугольник. Леонардо Да Винчи - «Тайная вечеря» Соответствующие прямоугольники в картине - "золотые".

Ціле завжди складається із частин, частини різної величины перебувають у певному відношенні Картина « Святое семейство » Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле. В. И. Суриков. «Боярыня Морозова». А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0, от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни! Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём, величайшая сила Морозовой.

Відношення між відстанню від головы до стоп і від пупа до стоп дорівнює золотому числу фі (1,618), так само як і відношення довжини головы до відстані між отчима і підборіддям; відношення відстані від носа до підборіддя до відстані між губами і підборіддям.

Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л.Сабанєєв, проаналізував 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що більшість видатних творів можно легко розділити на частини обо по темі, обо по інтонаційному ладу, які знаходятся між собою в співвідношенні золотої пропорції. В Аренського, Бетховена, Бородіна, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена и Шуберта золоті пропорції знайдені в 90% всіх творів Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він знайшов в них 178 золотих пропорцій. Композитор та вчений М.А.Марутаєв підрахував кількість тактів в знаменитій сонаті "Аппассіоната" і знайшов ряд цікавих числових співвідношень. Зокрема, в рорзробці – центральній структурній одиниці сонати, де інтенсивно розвиваються теми и змінюють одна одну тональності, - два основних розділи. В першому 43,25 такти, в другому - 26,75. Співвідношення 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дає золоту пропорцію. Єдина відома фотографія Шопена Бородін Олександр Порфирович Йозеф Гайдн ВОЛЬФГАНГ АМАДЕЙ МОЦАРТ

Закон золотої пропорції спостерігається в кількісному поділі людського тіла, що відповідає числам ряду Фібоначчі. Прикладом є число кісток тулуба, черепа та кінцівок. Скелет верхньої кінцівки складається з 3 частин (плечової, кісток передпліччя і кісток кисті). Морфогенез кисті, що включає два сусідніх члени числового ряду Фібоначчі - зокрема, 8 кісток запястка і 5 кісток пястка – наближається до золотої пропорції 1.618, оскільки 8/5=1.6. Співставляючи довжини фаланг пальців і кисті руки в цілому, а також відстань між окремими частинами обличчя, також можно знайти "золоті" пропорції:

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях.Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали. Давление крови изменяется в процессе роботы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

В кожної планети є мінімальний радіус орбіти, але є й максимальний – як у будь-якого еліпса. М.А. Марутаєв співвідніс їх між собою. У всіх девяти планет Сонячної системи відношення максимального та мінімального радіусів орбіт – цілі степені числа золотої пропорції. В Землі ж відношення радіусів дорівнює числу золотої пропорції в першій степені. Відношення відстані від Сонця до Землі до відстані від Сонця до Плутона – число, що виражає золоту пропорцію. Прискорення сили тяжіння при віддаленні від земної поверхні описується формулою: де h - высота над поверхнею Землі, R – її радіус. При опусканні тіла в глибину Землі характер залежності g від h міняється: Коли ж g h =g -h ? Ясно, что одним із розвязків буде h=0. Другий розвязок такой: Ми бачимо вже знайому нам формулу золотої пропорції.

Пагін цикорію, в якому довжина листків та відводків відповідає золотій пропорції Яйце птаха У ящірки з першого погляду помітні для нашого ока пропорції – довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38 У багатьох метеликів відношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотій пропорції Стрекоза також створена за законами золотої пропорції: відношення довжини хвоста та корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

ЧИСЛОВИЙ РЯД ЧИСЕЛ ФІБОНАЧЧІ ХАРАКТЕРИЗУЄ СТРУКТУРНУ ОРГАНІЗАЦІЮ БАГАТЬОХ ЖИВИХ СИСТЕМ Гвинтоподібне листорозміщення на гілці складає дріб (число обертів на стеблі/число листків в циклі, напр. 2/5; 3/8; 5/13) Носії генетичного коду – молекули ДНК та РНК - мають структуру подвійної спірали; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі. Квітки на насіння соняшника, ромашки, лусочки в плодах ананасу, хвойних шишках «запаковані" по логарифмічним ("золотим") спіралям, які закручуються назустріч один одному, до того ж числа "правих " і "лівих" спіралей завжди відносяться одни до одного, як сусідні числа Фібоначчі.

1. Лаврус В.С. Золотое сечение Бердукидзе А.Д. Золотое сечение 3. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. - СПб.: Питер, Roger Herz-Fischler. A mathematical history of the golden number. Mineola, NY, Martin Ohm: Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik. Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig Zeising.A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers. Leipzig, Щетников А.И. Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике Петрович.Д. Теоретики пропорций: М.: Стройиздат, Радзюкевич А.В. Глава из книги "Законы красоты - мифология или технология?"