Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 18. Тема: Транспортная задача. Цель: Рассмотреть условия, при которых задачу ЛП решают как транспортную.

Пусть однородный продукт, сосредоточенный в m отправления в количествах единиц, необходимо доставить в каждый из n пунктов назначения в количествах единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го (i= ) пункта отправления в j-й (j= ) пункт назначения равна и известна для всех компаний (i; j). Пусть – количество продукта, перевозимого по маршруту (i; j). Задача - определение таких величин для всех маршрутов (i; j), при которых суммарная стоимость перевозок минимальна.

Запишем условие задачи в виде матрицы планирования:

Математическая модель задачи: т.к. от i- го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке ед.груза, то стоимость перевозки составит.

Стоимость всего плана выразится двойной суммой:

Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: 1.) Все грузы должны быть вывезены, т.е. 2.) Все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

Построение первоначального опорного плана.

При решении задач ЛП итерационный процесс по описанию оптимального плана начинают с определения опорного плана.

Система ограничений транспортной задачи содержит mn неизвестных и m+n уравнений.

Клетки в таблице матрицы планирования, в которых находятся отличные от 0 перевозки, называются занятыми, остальные незанятыми. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным и для невырожденного опорного плана их должно быть m+n-1.

Опорность плана заключается в его ацикличности (это ситуация, при которой нельзя построить замкнутый многоугольник или цикл, все вершины которого будут лежать в занятых клетках).

Циклом называется набор клеток, в котором две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или в одной строке таблице, причем последняя клетка находится в той же строке или столбце, что и первая.

Построение циклов начинают с какой- либо занятой клетки и переходят по столбцу (строке) к другой занятой клетке, в которой делают поворот под прямым углом и движутся по строке (столбцу) к следующей занятой клетке и т.д., пытаясь возвратиться к первоначальной клетке.

Клетки, в которых происходит поворот под прямым углом, определяют вершины цикла.

Если план транспортной задачи содержит более m+n-1 занятых клеток, он не является опорным, т.к. ему соответствует линейно-зависимая система векторов. В этом случае в таблице всегда можно поставить замкнутый цикл, с помощью которого всегда уменьшают число занятых клеток до m+n-1.

Если к занятым клеткам, определяющим опорный невырожденный план, а значит и цикличный, присоединить какую- либо незанятую клетку, то план становится не опорным, появляется единственный цикл, все вершины которого за исключением одной, лежат в занятых клетках.

Вопросы: 1)При каких условиях транспортная задача имеет решение? 2)Что такое цикл?