Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство

х у Если α 0. Если α > 90°, то k < 0. Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ. 0

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ! (х)0 (причем равенство f ! (х)=0 выполняется лишь в изолированных точках), то функция у= f(х) возрастает на промежутке Х. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f ! (х)0 (причем равенство f ! (х)=0 выполняется лишь в изолированных точках), то функция у= f(х) убывает на промежутке Х. Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство f ! (х)=0,то функция у= f(х) постоянна на промежутке Х.

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Согласно теоремам 1 и 2, это связано со знаком производной. Найдем производную данной функции:

f ! (х)=6 х 2 +6 х=6 х (х+1) Если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках (именно так обстоит дело для заданной функции), эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции. 0 + х + f ! (х) f(х) Ответ: функция возрастает хЄ(-; - 1], [0;+), функция убывает хЄ[-1 ; 0]

Рассмотрим график функции у=2 х 3 +3 х 2 –1 х у На графике две уникальные точки: (-1;0) и (0;-1). В этих точках: 1) происходит изменение характера монотонности функции; 2) касательная к графику функции параллельна оси Х (или совпадает с осью Х), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю; 3) f(-1) – наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = - 1. Также f(0) – наименьшее значение функции в окрестности точки х=0

Определение 1. Точку х=х 0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х 0 ) выполняется неравенство f(х) > f(х 0 ). Определение 2. Точку х=х 0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х=х 0 ) выполняется неравенство f(х) < f(х 0 ).

ВНИМАНИЕ!!! Только не путать с наибольшим (или наименьшим) значением функции во всей рассматриваемой области определения, эти значения в окрестности некоторой точки Х, являются наибольшими (или наименьшими). Точки минимума и максимума функции называют – точки экстремума (от латинского слова extremum – «крайний»)

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х=х 0, то этой точке производная либо равна нулю, либо не существует. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х 0.Тогда: 1) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х 0 – неравенство f 1 (x)>0, то х=х 0 – точка минимума функции у=f(x); 2) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0, а при х>х 0 – неравенство f 1 (x)<0, то х=х 0 – точка максимума функции у=f(x); 3) Если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.

Для запоминания!!! min max Экстремума нет Экстремума нет

Решение: найдем производную данной функции: у 1 =12 х 3 – 48 х х. Найдем стационарные точки: 12 х 3 – 48 х х=0 12 х(х 2 – 4 х + 4)=0 Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=2 12 х(х – 2) 2 = х Значит, х=0 – точка минимума. Ответ: у min = - 11.

Алгоритм исследования непрерывной функции у=f(х) на монотонность и экстремумы: 1. Найти производную f 1 (х). 2. Найти стационарные (f 1 (х)=0) и критические (f 1 (х) не существует) точки функции у=f(х). 3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 4. На основании теорем 1, 2, и 5 сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.

Пример: Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

16 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна

17 Ответ: 4

18 На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 7; 5). Найти точку экстремума функции на отрезке [-6; 4]

19 Ответ: - 3

20 На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 3; 8). Найти количество точек максимума функции на отрезке [- 2; 7]

21 Ответ: 2

22 На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 3; 8). Найти промежутки убывания функции. В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки

23 Ответ: 16

24 На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале ( - 11; 3). Найти промежутки возрастания функции. В ответе указать длину наибольшего из них

25 Ответ: 6

Домашнее задание: 30.03, 30.12, 30.13, 30.26

08/thumbs/ _12. jpg ages/918F B4BB0B160956D6B9D4E34. JPG 97P.jpg mages/calc.JPG