Графы, некоммутативность, неевклидова геометрия и укладка ДНК Сергей Нечаев LPTMS, CNRS, Université Paris-Sud, Orsay, France

Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул

Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул

Число оборотов вокруг пальмы = 0 и траектория незацеплена

Число оборотов вокруг каждой из пальм = 0... а траектория зацеплена!!!

Контур Похгаммера Траектория зацеплена за обе точки вместе, но не зацеплена за каждую

"Генераторы" поворотов a+a+ a-a- b+b+ b-b-

Удаление от корня дерева = "сложность" зацепления a+b-a-b+b-a-a+b-a-b+b-a- = a+a+ b-b- a-a- b+b+ b-b- a-a- b+b+ Возвращение в корень = распутывание!!! Метрика в группе слов = a+b-a-a-= a+b-a-a-

коммутативная группа a b a b некоммутативная ("свободная") группа a b a b Периметр ~ R Периметр ~ 3 R

В какое пространство можно изометрический вложить однородное дерево? Плоскость (пространство) Лобачевского

Попытка "втиснуть" дерево в обычное пространство

Гиперболическая геометрия в живой природе коралл рельеф на основе функции Дедекинда

Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Почему важно? Где этим занимаются?

1. Зацепления: цепь в решетке препятствий Создание новых полимерных материалов с уникальной эластичностью Страсбург (Франция), Киото (Япония)

2. Косы и перемешивание Решение задач эффективного перемешивания Saint Gobain (Франция), Imperial College (Лондон)

3. Косы и игра в Тетрис

4. Нестационарный рост, электрический пробой в диэлектриках Франция, Германия, Канада, США Распределение по массам Число кластеров Электродепозиция серебра в 2D Тетрис Проблемы экстремальной статистики

Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул

Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и зацеплений Случайные блуждания в некоммутативных пространствах и на группах Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул

Как плотно уложить нить в 3D так, чтобы любой ее кусок был бы незацеплен? Складчатая глобула (А.Гросберг, С.Н., Е.Шахнович)

Участки остаются не перепутанными Именно эта укладка ДНК реализуется в складчатой глобуле Участки проникают друг в друга и перепутываются

Статистика и компактных кольцевых незаузленных макромолекул Почему важно? Где этим занимаются?

ДНК содержит ~3 миллиарда пар оснований, ее длина ~2 м, и упакована в клеточном ядре ~20 мкм При транскрипции фрагменту ДНК необходимо "выпутаться" из упакованного состояния, а затем снова "сложиться" Как это сделать быстро и обратимо??? Crumpled (fractal) globule - порядка ссылок в интернете Россия, Франция, Германия, Англия, США

Модель глобулы – плотный узел, полностью покрывающий прямоугольную решетку

Каково типичное топологическое состояние "дочернего" (квази)узла при условии, что "родительский" узел тривиален?

Типичная безусловная сложность n случайного узла Типичная условная сложность n* дочернего (квази)узла

Как далеко по дереву мы ушли за половину шагов при условии, что на последнем шаге вернулись в корень? Как на обычной плоскости без кривизны!