«Пирамида Хеопса – немой трактат по Геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида» Архитектор Корбюзье

ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

Мы знаем, что ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру …

Изучая СТЕРЕОМЕТРИЮ в школе Мы проведем систематическое рассмотрение свойств геометрических тел в пространстве. Освоим различные способы вычисления практически важных геометрических величин. При этом мы будем развивать пространственное воображение и логическое мышление

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления это ключ к изучению стереометрии ВЫВОД: При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта. Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь. «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», признавался великий математик Леонард Эйлер ( ).

Основные понятия стереометрии точка, прямая, плоскость, расстояние А Т М m = (РКС) | PK | A, KC, P, | PK | = 2 см Р К С

Прочти чертеж A С

B c b a

Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В. Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и b, лежащие на ней. Изобразите плоскость, лежащие на ней точки А и В, а также точки C и D, расположенные на разные стороны от плоскости. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а. Изобразите плоскости, пересекающиеся под прямым углом.

Аксиомы стереометрии

Аксиома (от греч. axíõma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

Аксиомы стереометрии А-1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна Р К С = (РКС)

Аксиомы стереометрии А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. С М m М, C m М, C m, Еслито

Аксиомы стереометрии А-3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М m М, М, М m m, m = m

Определите: верно, ли суждение? 1. Любые три точки лежат в одной плоскости. 2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. 5. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 7. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 8. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга ДА НЕТ

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т-1 Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В к

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

ВЫВОД По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ 1. Сколько существует способов задания плоскости? 2. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? а)б)в) г)д) е)