§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений 8.1 Интегрирование иррациональных выражений Основным методом вычисления неопределенных интегралов от иррациональных функций является метод рационализации подынтегрального выражения, т.е. метод нахождения таких подстановок, которые приводят данный интеграл к интегралу от рациональной функции. где p i, q i Z, Пусть q =НОК(q 1, q 2,…q n ). Вводим замену x = t q, тогда dx = qt q-1 dt и исходный интеграл преобразуется к виду где m i Z, и R * (t) – рациональная функция от t.

Пример: Т.к. НОК(3, 2)=6, то

8.2 Интегрирование тригонометрических выражений Для нахождения интеграла вида универсальную тригонометрическую подстановку Тогда x = 2arctgt, используют где R * – рациональная функция.и

Пример: Введем подстановку тогда

8.3 Дробно-рациональные функции. Простейшие дроби Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется отношение двух многочленов c действительными коэффициентами степени m и n соответственно Если m>n, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Из неправильной дроби всегда можно выделить целую часть, так что оставшаяся дробь будет правильной. Пример:

Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S m-n (x) и правильной рациональной дроби Среди правильных дробей различают четыре типа простейших дробей: II. III. IV. где A, M, N, a, p, q – const, k N, дискриминант D=p 2 -4q<0. I.

Рассмотрим интегрирование простейших дробей. II. III. I. Пример:

Пример: Найти 1. выделим в числителе производную знаменателя: 2. знаменатель второй дроби представим в виде суммы квадратов:

8.4 Определенный интеграл, его геометрический смысл Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей, где a=x 0 < x 1 <… <x i <…<x n-1 < x n =b. Обозначим x i = x i - x i-1, и пусть =max{ x i }. На каждом отрезке [x i-1, x i ] выберем точку c i [x i-1, x i ] и составим сумму n =f(c 1 ) x 1 +…+ f(c n ) x n = которая называется интегральной суммой функции f(x), она зависит от способа разбиения и выбора точек c i.

Если существует разбиения отрезка [a, b] и выбора промежуточных точек c i, то говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], а сам предел называют определенным интегралом не зависящий от способа,. Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох. Тогда произведение f(c i ) x i равно площади прямоугольника с основанием x i и высотой f(c i ), а сумма n = площадь заштрихованной ступенчатой фигуры. представляет собой Если существует, то площадью криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла). называют

Свойства определенного интеграла , R 5. a, b, c R, если все три интеграла существуют, то 6. – формула Ньютона-Лейбница. 1.1.

8.5 Методы вычисления определенных интегралов 1. метод подстановки Пример: (1)(1)

2. метод замены переменной Пример: (2)

Важным в формулах (1) и (2) является то, что одновременно с заменой подынтегрального выражения изменяются соответствующим образом и пределы интегрирования. 3. интегрирование по частям Пример:

8.6 Применение определенного интеграла Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми х = a, x = b и осью Ох находится по формуле при f(x) 0 и при f(x) 0 х [a, b].

Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y = f 1 (x) и y = f 2 (x), причем f 1 (x) f 2 (x) на [a, b], то

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х и у = 2-х 2. В данном случае функции f 2 (x) = 2-х 2 и f 1 (x) = х пересекаются при х 1 =-2 и х 2 =1. Следовательно, x012-2 y211 у = 2-х 2 у = ху = х x-21 y 1