Математические модели Математическая модель приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики. Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью,

Классификация с учетом фактора времени и области использования Статическая модель - это как бы одномоментный срез информации по объекту (результатт одного обследования) Динамическая модель - позволяет увидеть изменения объекта во времени(Карточка в поликлинике) Можно классифицировать модели и по тому, к какой области знаний они принадлежат(биологические,исторические, экологические и т.п.)

Классификация математических моделей по области использования Учебные - наглядные пособия, тренажеры,обучающие программы Опытные модели - уменьшенные копии (автомобиль в аэродинамической трубе) Научно-технические - синхрофазотрон, стенд для проверки электронной аппаратуры Игровые - экономические, спортивные, деловые игры Имитационные - не просто отражают реальность, но имитируют ее( на мышах испытывается лекарство, в школах проводятся эксперименты и т.п..Такой метод моделирования называется методом проб и ошибок

Классификация моделей по способу представления Материальные модели - иначе можно назвать предметными. Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение Информационные модели - нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации.Информационная модель совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель - информационная модель выраженная знаками,т.е. средствами любого формального языка. Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды.

Виды математических моделей

Дескриптивные (описательные) модели. Например : моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели : Они используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели : Они могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики теория игр, изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Задача 1. В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втрое больше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось 12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя? Составим математическую модель. В начале игры на поле было 14 2 = 28 танков. Примем за x количество танков потерянных вашей командой, значит, потери врагов составят 3x. 1. x ваши потери; 2. 3x потери вражеской команды; кол-во всех танков до боя; кол-во всех танков после боя. Составим уравнение, и решим его. 28 – x – 3x = 12 Найдем ответ на вопрос задачи. 14 – 4 = 10 (танков). Ответ: 10 танков осталось у нашей команды в конце боя.

Задача 2. Скорость легкоового автомобиля в два раза больше скорости грузовика. Выехав на 1 час позже, за три часа пути он проехал расстояние на 100 км больше, чем грузовик. Какова скорость легкоового автомобиля? Составим математическую модель. 1. x – скорость грузовика; 2. 2x – скорость легкоового автомобиля; 3. Sl – расстояние пройденное легкоовым автомобилем; 4. Sg – расстояние пройденное грузовиком; 5. tl = 3 ч – время в пути лег. автомобиля; 6. tg = = 4 ч – время в пути грузовика; 7. Sl = Sg – легко. автомобиль проехал на 100 км больше грузовика; 8. Sl = 2x 3 = 6x (S = vt) – расстояние = скорость умноженная на время; 9. Sg = x 4 = 4x. Решим уравнения и получим ответ : Ответ: скорость легкоового автомобиля равна 100 км/ч.

Задача о баскетболисте Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину. Модель должна позволять вычислять положение мяча в любой момент времени; определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах. Исходные данные - масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины. Заметим, на первый взгляд может показаться, что это элементарная задача из школьного курса физики. Однако, это не так. Обратите внимание, от моде ли требуется не просто описание движения, но и прогнозирование его результат, что принципиально меняет ее глубину и сложность

Моделируем : Изменяем Vo и L. Вычисляем Хк и производим запуск модели.

Задача о коммивояжере. Коммивояжеру, живущему в городе A1, надо посетить города A2, A3 и A4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами. Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна. Варианты последовательности посещения городов могут быть различными. После решения задачи – движемся курсором их первого города последовательно в разные города и выясняем правильность решения.