К оглавлению. Выход.

Недавно произошло значительное событие в театральной жизни России. Завершена реконструкция Большого театра. Само это здание, его грандиозная отделка произвела на нас огромное впечатление и натолкнула на мысль, что подобные работы требуют серьезных расчетов и математической точности. Так возникла идея выявить связь между математикой и театром.

Установить связь между математикой и искусством театра. Ознакомиться с правилами построения театра. Проверить на практике методы оценки акустических свойств помещения.

Большой театр. Методы оценки акустики: – Геометрический Геометрический – Ревербирационный Ревербирационный Практическая задача по исследованию акустических свойств школьного кабинета. Практическая задача по исследованию акустических свойств школьного кабинета. Заключение. Список литературы.

Майкл Медокс ( ) английский инженер, театральный антрепренёр, работавший в России. Русские источники называют его математиком, профессором Оксфордского университета, Майкл Медокс в 1766 году прибыл в Россию по высочайшему приглашению, переданному через английского посла Н. И. Панина и при содействии английского посла лорда Макартнея, при особой благосклонности императрицы Екатерины II, для преподавания физики и математических наук наследнику, будущему государю Павлу. Кроме того, он был управляющим музеем «механических и физических представлений». Основным занятием Майкла Медокса было изготовление механических часов и других инженерных диковинок. Преподавательская стезя окончилась, и, покинув Россию, он направился с музеем в Мадрид, а затем в Лондон, где и провел последующее десятилетие, после чего решил опять поехать в Россию. Именно Медокс построил в 1780 году каменное здание театра (архитектор Х. Х. Розберг) по месту расположения на улице Петровка (на правом берегу Неглинки) получивший название Большой Петровский театр.

Петровский театр Майкла Медокса

Особое внимание было уделено восстановлению легендарной акустики. Международные эксперты проводили многочисленные акустические исследования и строго следили за выполнением всех технических рекомендаций. Панели из резонансной ели, которые являются главной составляющей акустики зрительного зала Государственного академического Большого театра (ГАБТ), полностью восстановлены, говорится в пресс-релизе инвестиционной группы "Сумма Капитал", которая владеет генподрядчиком реконструкции театра компанией "СУИПроект". Акустические панели образуют "эффект звучания помещения" за счет усиления тембровой окраски издаваемого со сцены звука с одновременным "эхо поглощением". Именно эти процессы, благодаря особым физико- акустическим свойствам резонансной древесины, формируют необходимые условия для лучшего восприятия звучания певческих голосов и музыкальных инструментов. Для восстановления недостающих элементов использовалась древесина, идентичная той, которую выбирали для создания панелей в XIX веке. Сложность в отборе материала заключалась в том, что дерево с подобными свойствами формируется лишь в определенных условиях у некоторых генетически обусловленных деревьев. Запасы этого природного материала сокращаются в лесах не только России, но и всего мира, указывается в пресс- релизе. Однако реставраторам удалось создать новые акустические панели, полностью идентичные историческим.

Процесс реставрации Большого театра.

Схема Большого театра после реставрации.

Очевидно, что одними из важнейших характеристик для любого театра и концертного зала являются его акустические параметры. Поэтому нам показалось интересным узнать, каким образом залы оцениваются с точки зрения их акустических свойств. Теория акустики включает два подхода: геометрический и реверберационный.

Основные положения. Геометрическая (лучевая) теория акустических процессов в помещениях основана на законах геометрической оптики. Движение звуковых волн рассматривают подобно движению световых лучей. В соответствии с законами геометрической оптики при отражении от зеркальных поверхностей угол отражения b равен углу падения a, и падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости. Это справедливо, если размеры отражающих поверхностей много больше длины волны, а размеры неровностей поверхностей много меньше длины волны.

Характер отражения зависит от формы отражающей поверхности. При отражении от плоской поверхности (рис.1, а) возникает мнимый источник И', место которого ощущается на слух подобно тому, как глаз видит мнимый источник света в зеркале. Отражение от вогнутой поверхности (рис.1, б) приводит к фокусировке лучей в точке И'. Выпуклые поверхности (колонны, пилястры, крупные лепные украшения, люстры) рассеивают звук (рис.1, в). Рис. 1

Роль начальных отражений. Немаловажным для слухового восприятия является запаздывание отраженных звуковых волн. Звук, излученный источником, доходит до преграды (например, стены) и отражается от нее. Процесс многократно повторяется с потерей при каждом отражении части энергии. На места слушателей (или в точку расположения микрофона) первые запаздывающее импульсы, как правило, приходят после отражения от потолка и стен зала (студии). Человек обладает способностью сохранять слуховые ощущения, объединять их в общее впечатление, если они длятся не более 50 м/с (точнее 48 м/с). Поэтому к полезному звуку, подкрепляющему исходный, относятся все волны, которые достигают уха в течение 50 м/с после исходного звука. Запаздыванию на 50 м/с соответствует разница в пути 17 м. Концентрированные звуки, приходящие позднее, воспринимаются как эхо. Отражения от преград, укладывающиеся в указанный промежуток времени, являются полезными, желательными, так как они увеличивают ощущение громкости на значения, доходящие до дБ, улучшают качество звучания, придавая звуку "живость", "пластичность", "объемность".

По сохранившимся до наших времен культовым и зрелищным сооружениям видно, что основные положения лучевой теории были известны древним строителям и что эти положения неукоснительно соблюдались. Размеры греческих и римских театров на открытом воздухе были выбраны такими, чтобы в наибольшей степени использовать энергию отраженных волн. Театры (рис.2) содержали три основные части: сцену (shena) глубиной 3,5 - 4 м в Греции и м в Риме, на которой разыгрывалось театральное действие; площадку перед сценой - орхестру (orhestra буквально "место плясок"), на которой располагался хор и выступали танцоры; поднимающиеся ступенями зрительские места вокруг орхестры, образующие так называемый амфитеатр (от греческих слов amphi - "с обеих сторон", "кругом" и theatron - "место зрелищ"). Рис. 2

Звуки от исполнителей достигали зрителей, располагавшихся на амфитеатре, прямым путем 1, а также после отражений от поверхности орхестры (луч 2) и стены 3, находящихся позади сцены (рис.3,а). Плоскость орхестры покрывали хорошо отражающим материалом. Как указывал Витрувий, высоту стены 3 следовало выбирать равной высоте парапета 4, ограждавшего верхний ряд амфитеатра, "для улучшения акустики". Видимо, речь шла о том, чтобы не допустить излишнего рассеяния звуковой энергии в пространстве. Глубину сцены в греческих театрах делали небольшой, чтобы лучи 5, отраженные от задней стены, не слишком запаздывали по отношению к прямому лучу 1 и не ухудшали разборчивость речи актеров. Часть звуковой энергии, отразившись от стен 3 и 4, уходила вверх. В современных крытых театральных залах эта энергия отражается потолком вниз и увеличивает интенсивность звука на зрительских местах. На орхестре происходили танцы и располагался хор, повторявший реплики актеров, т.е. выполнявший задачу звукоусиления. При расположении хора в точке 1 звуковые лучи, отразившись от стены 3 (рис.3,б), приходят к зрителю с большой задержкой во времени, вызывающей эхо. Рис. 3 а) б)

Для уменьшения этого недостатка в римских театрах хор стали располагать ближе к сцене, в точке 2. Тогда для направления энергии в сторону зрителей начали использовать отражения от сцены (ее высота в римских театрах достигала 3,5 м), а освободившуюся часть орхестры заняли танцоры. В современных театрах перед сценой находятся музыканты, и на них перешло название занимаемой ими площадки. Особую роль в усилении и обогащении звучания играли так называемые "гармоники" - системы резонаторов в виде бронзовых цилиндрических сосудов и глиняных кувшинов-амфор. Они располагались в нишах стены позади зрительских мест и под скамьями. Греки считали, что для благозвучия речи и музыки резонаторы должны быть подобраны или настроены по тонам музыкальных гамм: энгармонической, хроматической и диатонической. – Первая система, по мнению их создателей, придавала звукам торжественность и строгость; – Вторая, благодаря "толпящимся" нотам, - утонченность, нежность звучанию; – Третья - из-за консонанс насти интервалов - естественность музыкальному исполнению.

Очевидно, что античные архитекторы при строительстве театров искали и находили технические пути передачи зрителям и слушателям не только смысловой, но и художественной информации, стремились обогатить музыкальное звучание. Рациональной формой и разумно выбранными размерами отличались театральные и концертные залы 18 и 19 веков. Ряд хороших в акустическом отношении театральных и концертных залов был построен в разных странах в 20 веке.

Неудачные решения. Казалось бы, опыт, накопленный за тысячелетия, должен использоваться современными архитекторами и строителями. Между тем множатся примеры неудовлетворительных акустических решений, например, строительство залов круглой или эллиптической в плане формы (кинотеатр "Колизей" в Санкт-Петербурге, концертный зал им. Чайковского в Москве и др.). В них образуются зоны фокусировки отраженных лучей и зоны, в которые отраженные лучи либо не попадают, либо попадают с большой временной задержкой. В круглом в плане зале (рис.4) касательный к стене луч 1 и при последующих отражениях остается в близкой к стене зоне. Лучи 2, распространяющиеся примерно в диаметральном направлении, образуют после отражения мнимое изображение источника И', в котором интенсивность звука, как и в кольцевой зоне возле стены, повышена. Рис. 4

Неудовлетворительными являются залы с плоским потолком и низким порталом сцены (рис.5, а). Зона АВС оказывается своеобразной ловушкой для значительной части, излучаемой источником звука энергии. Только зона DE дает полезные отражения, но они попадают лишь в удаленную часть зала ЕС. Предпочтительнее конструкции с рассеивающим потолком (рис.5,б), акустической раковиной и козырьком (рис.5,в). Рис. 5

Задачей реверберационной акустики является оценка статистических параметров помещения, таких как время стандартной реверберации и радиус гулкости. В отличие от геометрической, реверберационная акустика исходит из предположения, что образующееся в результате многократных отражений реверберационное поле помещения по интенсивности звука распределено равномерно во всем его объеме и диффузно. Под диффузностью понимают примерную одинаковость значений колебательной скорости звуковых отражений, достигающих ушей слушателя из всех направлений. Стремиться к почти идеальным условиям следует не только потому, что упрощаются акустические расчеты. Однородность звукового поля, например в зале, обеспечивает равную громкость и тембр звучания концертной программы на разных слушательских местах. Диффузность же звукового поля играет особо важную роль для правильного восприятия звуковой сцены - для точного определения слушателем направления на источники звука, а также для ощущения ясности и формирования пространственного впечатления от звучания.

Однако в реальных условиях - в комнатах прослушивания, концертных залах, театрах - равномерность распределения звукового поля и его диффузность, как вы догадываетесь, весьма далеки от совершенства. Вспомним про "звуковые ямы", то есть места, в которых голоса артистов пропадают, как в Бермудском треугольнике и т. п. Ну а теперь обратимся к основным понятиям реверберационной акустики. а) Время стандартной реверберации T60 это измеряемое в секундах время затухания отклика помещения на звук. Его измеряют от момента окончания звука до затухания отклика на 60 дБ. Время стандартной реверберации определяют или на частоте 512 Гц, или на избранных звуковых частотах. Формулу для расчета времени стандартной реверберации проектируемого помещения вывел Сэбин. Используя статистическую модель реверберации и остроумные эксперименты, он впервые и в простом виде выразил связь времени стандартной реверберации с объемом помещения и эффективной площадью поглощения в нем звуков: T 60 = 0,164 где А = - суммарное поглощение в помещении, м 2 (здесь - средневзвешенный по площади помещения коэффициент поглощения). Эта формула действительна для помещений с небольшим средним коэффициентом поглощения < 0,3; при больших значениях пользуются формулой Эйринга: T 60 = 0,164

б) Радиус гулкости В статистическом смысле реверберационное поле в помещении прослушивания в установившемся состоянии считается равномерно распределенным, то есть не зависящим от расстояния до источника. Интенсивность прямого звука, скажем, излучаемого сферическим источником, каковыми являются все динамические громкоговорители в закрытом корпусе, при удалении от него, напротив, убывает пропорционально квадрату расстояния. Оказывается, в пространстве вокруг источника можно мысленно нарисовать круг, а точнее, сферическую поверхность, радиус которой обозначает место, где интенсивность прямого звука и поля реверберации равны. Этот радиус называется радиусом гулкости. Радиус гулкости r н определяют по формулам: r н = или r н = 0,057

Внутри этого круга (сферы) слушатель воспринимает в первую очередь прямой звук источника, а за его пределами слышит в основном поле реверберации. В качестве примера – радиус гулкости в Большом зале Петербургской филармонии (где V = м 3, T 60 = 2 с) r н (филармонии) = 6,64 м, а в оптимально спроектированной комнате прослушивания (где V = 80 м 3, T 60 = 0,45 с) r н (комнаты) = 0,76 м. Из этих примеров становится ясно, что музыку мы всегда и везде (кроме сидящих в первых трех рядах концертного зала) слушаем в звуковом поле, где доминирует реверберация. Насколько можно удаляться от источника звука, то есть углубляться в поле реверберации, сохраняя при этом интерес к музыке? Проффессор В. Рейхардт, долгое время проработавший в ГДР, с чисто немецкой пунктуальностью ответил на этот вопрос. Он выразил количественно интерес слушателя к живому звучанию музыки с помощью двух показателей: индекса ясности и индекса пространственного впечатления, и построил график их зависимости от времени реверберации, радиуса гулкости и расстояния от источника звука до слушательского места (см. рис. 6). На том же рисунке зеленым цветом я обозначил соответствующую концепции Рейхардтазону благоприятного с точки зрения звучания музыки сочетания перечисленных акустических параметров.

Рис. 6.

Попробуем применить изложенные теории для оценки акустических характеристик школьного кабинета математики. Для этого измерим его длину, ширину, высоту и оценим класс по условию Морза и по параметрам реверберации. Условие Морза звучит так: в интервале 10 Гц должно быть не менее 10 резонансов.

Таким образом мы видим, что создание театра – это задача, в которой немалую роль играет и математическая составляющая. При его построении необходимо учитывать законы геометрии, а также производить сложные математические расчеты. Тогда проект будет действительно успешным, и люди, которые посетят этот театр будут действительно наслаждаться искусством и не испытают разочарования по поводу плохого звучания. Это подтверждает огромную роль математики в жизни людей, так как даже искусство театра не обходится без ее применения.

1. Анатолий Лихницкий «Комната прослушивания. Рекомендации по проектированию.» 2. Ефимов А. П., профессор МТУСИ «Три взгляда на акустику помещений» 3. Чуйков А.А., Мочалин Г.В., Ефремова Е.В. «Исследование акустических свойств зала методом геометрической акустики.» 4. Йордан В. Л. «Акустическое проектирование концертных залов и театров» 5. Газета «Аргументы и факты» 43, г