На прошлом уроке мы научились строить график любой квадратичной функции. С помощью таких квадратичных функций мы можем решать так называемые квадратные уравнения, которые в общем виде записываются следующим образом: Ребята, заметьте запись выше и запись практически идентичны, отличие в том, что вместо y мы записали 0, т.е. y=0. Тогда как же решить квадратное уравнение? Первое что приходит на ум, это надо построить график параболы и найти точки пересечения этого графика с прямой y=0. Существуют и другие способы решения, рассмотрим все эти способы на конкретном примере.

Пример. Решить уравнение: Решение. Способ 1. Построим график функции и найдем точки пересечения с прямой y=0. Коэффициент при старшей степени положителен, значит ветви параболы смотрят вверх. Найдем координаты вершины: Точку с координатами (-1;-9) примем за начало новой системы координат и построим в ней график параболы

Мы видим две точки пересечения, они отмечены черными точками на графике, мы решаем уравнение относительно х. Тогда нам надо выбрать абсциссы этих точек, которые равны -4 и 2. Таким образом, решением квадратного уравнения являются два корня

Способ 2. Преобразуем исходное уравнение к виду: Таким образом мы можем решить это уравнение обычным графическим способом, найдя абсциссы точек пересечения двух графиков Опять же получили две точки пересечения, абсциссы которых совпадают с полученными в первом способе решениями.

Способ 3. Преобразуем исходное уравнение к такому виду: Построим два графика так же найдем их точки пересечения. Графиком - служит парабола смещенная на 8 единиц вниз. Опять же получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек такие же как и в двух предыдущих способах

Способ 4. Выделим полный квадрат в исходном уравнении: Построим два графика функций. Графиком первой функции является парабола, смещенная на одну единицу влево. Графиком второй функции – прямая параллельная оси абсцисс проходящая через ординату равную 9. В очередной раз получили две точки пересечения графиков, при чем абсциссы этих точек совпадают с полученными в предыдущих способах

Способ 5. Разделим исходное уравнение на х: Опять же решим это уравнение графически, построим два графика Опять же получили, две точки пересечения, при чем абсциссы этих точек опять же совпадают с полученными выше

Ребята, мы получили пять способов графического решения квадратных уравнений, в каждом из этих способов корни уравнений получились одинаковыми, что значит решение, получено верное. Основные способы графического решения квадратных уравнений 1. Построить график функции, найти точки пересечения с осью абсцисс, которые и будут решением уравнения. 2. Построить два графика - найти абсциссы точек пересечения этих графиков. 3. Построить два графика - найти абсциссы точек пересечения этих графиков. Здесь, графиком первой функции служит парабола, смещенная либо вниз либо вверх, в зависимости от знака числа с. График второй – прямая, проходящая через начало координат.

4. Выделить полный квадрат, то есть привести исходное уравнение к виду: Построить два графика функции, найти их точки пересечения. Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо влево, либо вправо, в зависимости от знака числа l. Графиком второй будет прямая параллельная оси абсцисс, пересекающая ось ординат в точке равной минус m. 5. Разделить исходное уравнение на х: Преобразовать к виду: Опять же построить два графика и найти их точки пересечения. График первой – гипербола, график второй функции – прямая.

К сожалению, стоит отметить, что графический метод решения квадратных уравнений, не всегда является хорошим способом решения. Точки пересечения различных графиков далеко не всегда являются целыми числами, или могут иметь в абсциссе или ординате очень большие числа, которые не построить на обычном листе бумаги. Более наглядно продемонстрируем на примере. Пример. Решить уравнение: Решение. Построим график параболы, найдем координаты вершин:

При построении такой параболы, уже возникают проблемы, даже чтобы правильно отметить вершину параболы. Нам нужно выбрать одну клеточку равную 0.25 единиц масштаба, чтобы точно отметить ординату вершины. Но при таком масштабе, нужно спуститься, на 35 единиц вниз, что очень и очень неудобно. Построим все таки наш график: Вторая проблема, с которой сталкиваемся, график нашей функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами которой точно определить невозможно, приблизительное решение сказать можно, но математика требует точностей. Таким образом графический метод оказывается не всегда удобным, поэтому для решений квадратных уравнений требуется более универсальный метод, который мы покажем в последующих уроках.

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решить графически ( всеми 5 способами) уравнение: 2. Решить графически, любым способом уравнение: