Общая теория статистики Регрессионно- корреляционный анализ

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 2 Задачи регрессионно-корреляционного анализа – построение экономических моделей и оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи. Корреляционным называется исследование, проводимое для подтверждения или опровержения гипотезы о статистической связи между несколькими (двумя и более) переменными. Задача корреляционного анализа – количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Корреляционное поле или диаграмма рассеивания – модель, которая отображает зависимость между переменными величинами x i и y i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат Виды связей: По характеру проявления: функциональные; стохастические. По аналитическому выражению: линейные; нелинейные. По направлению: прямые; обратные. Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 3

4 Отрицательная корреляция Отсутствие корреляции Слабая положительная Тесная положительная

Графики некоторых функций Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 5

6 Коэффициент корреляции Теоретический: Выборочный: Коэффициент частной корреляции:

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 7 Коэффициент корреляции Теоретический: Выборочный: Коэффициент частной корреляции:

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 8 Коэффициент корреляции Пирсона КОРРЕЛ (массив 1; массив 2)

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 9 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шкала английского статистика Чеддока: слабая от 0,1 до 0,3; умеренная от 0,3 до 0,5; заметная от 0,5 до 0,7; высокая от 0,7 до 0,9; весьма высокая (сильная) от 0,9 до 0,99; Функциональная от 0,99 до 1,0.

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 10

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 11 Обобщенная форма модели y = f(α, x) + ε, где f(α, x) – функционал, выражающий вид и структуру взаимосвязей; y - уровень исследуемого явления, называется зависимой (эндогенной, объясняемой) переменной или результативным признаком; x 1, x 2,…, x n представляет собой вектор значений независимых (экзогенных, объясняющих) переменных x i или факторных признаков (факторов); α 0, α 1,α 2,…, α n обозначен вектор некоторых произвольных констант, называемых параметрами модели; ε – ошибка модели.

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 12 Основные классы моделей 1) Модели временных рядов: результативный признак зависит от времени (модель тренда, модель сезонности, модель тренда и сезонности); результативный признак зависит от переменных, датированных другими моментами времени (модели с распределенными лагами, модели авторегрессии, модели ожидания). 2) Регрессионные модели с одним уравнением (одно- и многофакторные). 3) Системы одновременных уравнений: уравнение спроса; уравнение предложения; тождество равновесия.

Модель парной линейной регрессии Общий вид: Аналитическое (выборочное) уравнение: Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 13

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 14 Метод наименьших квадратов заключается в минимизации квадратов остатков регрессии: необходимо, чтобы его частные производные в точке (a; b) равнялись нулю: раскрываем скобки:

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 15 Метод наименьших квадратов Решение системы уравнений: или

Модель множественной линейной регрессии Общий вид: Аналитическое (выборочное) уравнение: Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 16

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Линейные по оцениваемым параметрам: полиномы разных степеней: y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a 3 x n гиперболическая: y=a+b/x Нелинейные по параметрам: степенная y=ax b показательная y=ab x экспоненциальная y=e a+bx Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 17

Схема дисперсионного анализа Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 18 Компоненты дисперсии Формула Общая Факторная (объясняемая) Остаточная (необъясняемая) –

Коэффициент детерминации (квадрат множественной корреляции, R- squared) – R 2 непосредственно указывает на то, какая доля вариации результирующей переменной объясняется влиянием совокупности входных факторов модели. Может принимать ограниченный диапазон значений от 0 до 1. Статистика Фишера или F-критерий (F-test) Если расчетное значение критерия превышает табличное F.ОБР.ПХ (вероятность; степени свободы 1; степени свободы 2). k1=m; k2=n-m-1, то с принятой вероятностью 1-α регрессия существенна и нулевая гипотеза отбрасывается, если нет - следует принять основную гипотезу. H0: a i =0; H1: a i 0 при i=1…n. Следовательно, построенная модель может быть признана адекватной, т.е. она гарантирует с заданной вероятностью получение ожидаемого результата. Модель называется адекватной, если предсказанные на ней значения отклика эндогенной переменной y согласуется с результатами наблюдений. Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 19

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 20 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Данные о производстве птицы в России за 1990 – 2014 гг. Годы Произведено, тыс. т Расчетные показатели tt2t , ,7 1828, , ,6 1589, , ,4 1380, , ,3 1201, , ,2 1052, , ,0 933, , ,9 845, , ,8 786, , ,7 758, , ,5 759, , ,4 791, , ,3 853, , ,1 944, , ,0 1066, , ,9 1218, , ,7 1400, , ,6 1613, , ,5 1855, , ,3 2127, , ,2 2430, , ,1 2762, , ,9 3125, , ,8 3518, , ,7 3940, , ,6 4393,6

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 21 Линейная модель Данные Анализ данных Регрессия Регрессионная статистика Множественный R 0, R-квадрат 0,54511 Нормированный R- квадрат 0, Стандартная ошибка 734,0939 Наблюдения 25 Дисперсионный анализ dfSSMSF Значимость F Регрессия ,561672,51E-05 Остаток ,9 Итого Коэффициенты Стандартная ошибкаt-статистикаP-Значение Y-пересечение 337,492302,67471, , t 106,888920,36015, ,51E-05

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 22 Квадратичная модель Данные Анализ данных Регрессия Регрессионная статистика Множественный R0, R-квадрат 0, Нормированный R- квадрат 0, Стандартная ошибка 99, Наблюдения 25 Дисперсионный анализ dfSSMSF Значимость F Регрессия ,8417,94E-24 Остаток ,728 Итого Коэффициенты Стандартная ошибкаt-статистикаP-Значение Y-пересечение 2097,458164, ,462724,44E-20 t-284,214711, ,81931,4E-17 t2t2 15, , ,183817,8E-21

Тема 6. Регрессионно-корреляционный анализ 23 ВЫРАВНИВАНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ Данные о производстве птицы в России за 1990 – 2014 гг.