Множество положительных целых чисел называется натуральными числами При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д.

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - четное число нечетное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число нечетное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - четное число нечетное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - нечетное число

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - четное число

Соберите букеты

1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Могла ли лягушка сделать 17 прыжков? Решение. Нет. Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед. Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число.

2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно? Решение Пусть числа а = 2n, b = 2n + 1Тогда возможно: а + а + а а + а + b а + b + b b + b + b = 6n = 4n + 1 = 4n + 2 = 6n + 3 нечетно Ответ: 1, 3 3. Определите четность суммы: … Для решения используем более короткий ряд: В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу). Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна. В ряду … пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу). Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна

4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться?

1 2

5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли она за 20 прыжков оказаться на 101 см от исходного положения? Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной. 15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; ( )·20 – четное; ( )·20 – четное ВЫВОДЫВЫВОДЫ Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно. Пары: чет - нечет

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета.

Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симметрию. Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета. 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Клеток по диагонали - 9 Клеток в столбцах и строках без них 8. Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок.

6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Левый нижний край – в черный цвет. Можно ли расставить 5001 шашку черного цвета на черных клетках? Рассмотрим шахматную доску 8Х8 Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х Количество черных клеток равно Количество черных клеток в квадрате 100Х100 равно Ответ: нельзя. Четное число

7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели. Сначала лампочки не горят. Нажмите на лампочки первого ряда. Нажмите на лампочки второго ряда. Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т.е. 8 раз. Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8.

лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите а) наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели, б) количество изменений состояний одной лампочки. Сначала лампочки не горят. а) Всего 50Х40 =2000 б) Всего = 90, 90 – 1 = 89

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике. Анализ. Произведение равно 1 или – 1 Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1 Пусть количество 1 = n Пусть количество -1 = m Пусть n = m - нечетно Количество звеньев - четно n = m В этом случае при любой расстановке получится сторона, имеющая одинаковый знак с соседними

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике Пусть n = m - четно Количество звеньев - четно Пусть n = m = 2k Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k Следовательно, количество сторон кратно 4. Для решения нужно добавить еще два звена Ответ: Количество сторон кратно 4.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0? Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков? Задача 3. В таблице, где имеются 15 отрицательных чисел, можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из всех положительных чисел? Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске? Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю? 8. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

Букеты из четных и нечетных цветов Любое число, делящееся на два, можно назвать четным.

Действительные числа Натуральные числа Целые числа Целые положительные числа Целые положительные, отрицательные и нуль Рациональные числа Иррациональные числа Целые и дробные числа* и нуль Бесконечная непериодическая десятичная дробь R Множество действительных чисел - R N Множество натуральных чисел - N Z Множество целых чисел - Z * обыкновенные, конечные десятич. и периодические дроби

Знак означает, что а делится на b Знак означает, что а надо разделить на b Дробная черта означает деление Например, , 21 7, то Если а с и c b, то a b 2. Если а b и (a+c) b, то a c Например, , (168+n) 21, то n 21, п = 21k

3. Если а b 1 и c b 2, то ac b 1 b 2 Например, , 48 12, то 168· 48 21· Если а b и c b, то (an+cm) b Например, , 42 21, то (168·5+ 42·12) 21 Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п 5 – 5 п п. Чтобы найти делители, надо число разложить на множители п 5 – 5 п п = п(п 4 –5 п 2 +4) = п(п 4 –п 2 –4 п 2 +4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2) Расположим множители в порядке возрастания ( п – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся на 2 k, 3 m, 4 l, 5 p Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными. Простые Составные

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными Простые Составные

1) 12 = _________2) 24 = _________3) 75 = __________4) 48 = ______ 5) 72 = _________6) 250 = _________7) 54 = __________8) 80 = _______ Разложение числа на простые множители: ·322·323·323·352·352·324·324·3 23·3223·32 53·253·233·233·224·524· = 25·3325· = 26·3226· = 22·33·522·33· = 24·3424· = 3 2 = 5 2 = 2 3 = 3 3 = 5 3 = 2 4 = 3 4 = 5 4 = 2 5 = 3 5 = 2 6 = 2 7 = 11 2 = 12 2 = 13 2 = 14 2 = 15 2 = 25 2 =

Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общим делителем. НОД НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, = 3·3· 575 = 3· 5·5 120 = 2 3 3· 5 Общие множители: 3 и 5 Берутся общие в меньшей степени НОД(45,75,120) = 15Все числа делятся на 15

Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общим кратным. НОК НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОК для чисел 45, = 3·3· 575 = 3· 5·5 Общие множители: 3 и 5 НОК(45,75) = 3·5·3·5 = делится на 45 и 75 Из 45 не хватает множителя 3Из 75 не хватает множителя 5 Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое. НОК(30, 12) 30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится = 60 Берутся все множители в большей степени.

Задача 2. Докажите, что (п 5 – 5 п п) 120 : · В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, = 2 · 3 · 4 · 5 Следовательно, (п 5 – 5 п п) 120 : ·

Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число. Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5 Если а и р взаимно простые и ас р, то с р Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab

2 1 = = = = = = = = = = = = = = = = 3 7 ·3 ВЫВОДЫВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень. Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число Известно, что окончаний при возведении 2 n – 4( 2, 4, 8, 6) Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4 Разделим 2014 на 4:2014 : 4 = 503 и 2 в остатке 2, 4, 8, 6 Ответ: 4

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число Известно: 2 1 = = = = = = = = 256 Окончаний 4: 2, 4, 8, 6 ВЫВОДЫВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень

Остаток 137 = 4 · Целая часть Если а делится на b с остатком, то a = bq + r q – целая часть деления r – остаток деления Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2 Таких чисел множество: n = 3k + 2 Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2.

Определим остатки при делении числа п на 2. Число Остаток ВЫВОДЫВЫВОДЫ Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1 Определим остатки при делении числа п на 3. Число Остаток Повтор ВЫВОДЫВЫВОДЫ Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2

Определим остатки при делении числа п на 4. Число Остаток повтор ВЫВОДЫВЫВОДЫ Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3 Определим остатки при делении числа п на 5. Число Остаток повтор ВЫВОДЫВЫВОДЫ Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4

ВЫВОДВЫВОД 1, 2, 3…т - 1 Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1 Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2 Число п 2 Остаток повтор Остаток при делении п 2 на 3 может быть только 1. * Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство. Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2 п = 3k + 1. n 2 = 9k 2 + 6k + 1 = 3(3k 2 + 2k) + 1 = 3m + 1 п = 3k + 2. n 2 = 9k k + 4 = 3(3k 2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1.

Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п 2 + п + 1 делится на 2015? 2015 делится на 5. Рассмотрим деление с остатком числа п на 5. Остатки: 1, 2, 3, 4 п = 5k + 1, тогдап 2 + п + 1 = 25k k + 3 = 5l + 3 Остаток 3 п = 5k + 2, тогдап 2 + п + 1 = 25k k + 7 = 5l + 7 Остаток 2 п = 5k + 3, тогдап 2 + п + 1 = 25k k + 13 = 5l + 13 Остаток 3 п = 5k + 4, тогдап 2 + п + 1 = 25k k + 21 = 5l + 17 Остаток 2 Число п не делится на 2015.

Рациональные числа – это числа вида т – целое число; п – натуральное число Множество рациональных чисел - Q Натуральные N Целые Z Обыкновенная дробь Конечная десятичная дробь Бесконечная периодическая десятичная дробь

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже чсло, неравное нулю. Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители. Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители. Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей.

Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п. Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой. В числителе число n делится на 6 и в остатке 3 В знаменателе число п делится на 6 и в остатке 4 Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число. k = Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1.

Всякое натуральное число может быть представлено в виде: п = а 1 + а 2 · 10 + а 3 · 10 2 …+ а n – 1 · 10 n – 1 + a n · 10 n Например, 123 = · · 10 2 = Требование десятичной записи обозначается чертой над числом = · · 10 3 = п показывает разряд Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи: xyz = z + 10y + 100x Задача 7. цифры числа ab поменяли местами. Из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученное число делится на 9.

Задача 7. Цифры числа ab поменяли местами. Из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученное число делится на 9. ab = b + 10aba = a + 10b Делится на 9 ba - ab = a + 10b – b – 10a = 9b – 9 a = 9(b – a) Задача 8. может ли произведение всех цифр десятичной записи числа равняться 2010? = 2 · 3 · 5 · 67 Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9 67 > 9. Не может. 335

Задача 9. Найдите все четырехзначные числа abcd такие, что abcd + abc + ab + а = 2011 abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d 1111a+ 111b+11c+d = 2011 а может быть равно только 1 (1111) a = 1 с может изменяться от 0 до с изменяется от 0 до 99 b может изменяться от 0 до b изменяется от 0 до 999 Пусть b = 9, тогда 111b = = 2110 > 2011 Пусть b = 8, тогда 111b = = 1999 < c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1 abcd = 1811

Индукция – это переход от частного к общему. Метод используется для доказательств тех или иных утверждений с натуральными числами. Алгоритм Алгоритм 1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1 2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k 3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1

Задача 10. Докажите, что для любого натурального числа п сумма первых нечетных натуральных чисел равна п … + (2 п - 1) = п 2 Шаг 1. п = 11 = верно Шаг 2. предположение п = k … + (2k - 1) = k 2 - верно Шаг 3. индуктивный переход. п = k … + (2k + 1) = (k + 1) …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1) 2 k2k2 k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 – верно Выделим в выражении левой части выражение для n=k Доказано.

Задача 11. Докажите, что …+ п 2 = п = 1- верно п = k - верно п = k + 1 Выделим в выражении левой части выражение для n=k 2k 2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3) Доказано.

Задача 12. Докажите, что …+ п 3 = (1+2+3+…+n) 2 п = = верно п = k …+k 3 = (1+2+3+…+k) 2 - верно п = k …+k 3 +(k+1) 3 = (1+2+3+…+k +(k+1)) 2 Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1) 3 (1+2+3+…+k +(k+1)) 2 - (1+2+3+…+k) 2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1)) a2a2 b2b …+k (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1)) = (k+1)(2 +(k+1)) =(k+1)( k 2 +2k +1) = (k + 1) 3 Доказано. -

Задача 13. Найдите сумму Сначала необходимо выявить закономерность и создать формулу суммы. Потом доказать ее. Не трудно догадаться, что Докажем, что это так:n = 1 S 1 = ½ - верно n = k - верноn = k +1 Доказано Заметим, что

Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5 п + 3 делится на 4 п = 1 (5 + 3) 4 п = k (5 k + 3) 4 п = k k Докажем, что выражение делится на 4 5 k = 5 · 5 k + 3 = 5 · 5 k + 15 – = 5(5 k + 3) k + 3 делится на 412 делится на 4 Следовательно, все число делится на 4

Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называется диофантовым Решите в натуральных числах уравнение 2 х + 5 у = 12 1) х =12· у = 12; у = 2(1;2) 2) х =22· у = 12; у - дробное 3) х =32· у = 12; у - дробное 4) х =42· у = 12; у - дробное 5) х =52· у = 12; у - дробное 6) х =62· у = 12; у = 0(6;0) 7) х > 62· у = 12; у < 0 Ответ: (1;2), (6;0)

Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в клетке и тех и других? Пусть кроликов х, у них 4 ноги. Пусть фазанов у, у них 2 ноги. 4 х + 2 у = 18, 2 х + у = 9; у = 9 – 2 х Перебор: 1) х = 1; у = 7 2) х = 2; у = 5 3) х = 3; у = 3 4) х = 4; у = 1 5) х = 5; у = -1 < 0 6) х > 5; у < 0 Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)

Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД(a,b) Решите уравнение 3 х – 4 у = 1 в целых числах. 3 х = 4 у + 1 Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3 Пусть у = 3 р Тогда 12 р + 1 – не делится 3 Пусть у = 3 р + 1 Тогда 12 р – не делится 3 Пусть у = 3 р + 2 Тогда 12 р – делится 3 3 х = 12 р + 9 х = 4 р р + 9 – 4 у – 1 = 1 12 р + 9 – 4 у = 1, 4 у = 12 р + 8 у = 3 р + 2 Ответ: х = 4 р + 3; у = 3 р + 2 Уравнение имеет бесконечное множество решений

Если уравнение ах + bу = с имеет решение (х 0 ;у 0 ), то х = х 0 – bp; y = y 0 + ap, p Z э Заметим, что а и b взаимно просты. Решите уравнение 5 х + 8 у = 39 в целых числах. 1. Найдем подбором одно из решений х = 1, 2 Нет целых решений. х 0 = 3 у 0 = 3 2. Запишем по формулам решения: 5 х + 8 у = 39 5 х + 8 у = 39 х 0 = 3 х = х = – p; х 0 х 0 х 0 х 0 b 3- 8p y = 3+ 5p э p Z y0 y0 y0 y0 ay = + p у 0 = 3 Ответ: х = 3 – 8p; у = 3 + 5p

Решите уравнение -23 х + 79 у = 1 в целых числах. Перебор для нахождения х 0 и у 0 сложный. Применим метод понижения коэффициентов. 23 х - 79 у = -1 Представим 79 у как сумму чисел, одно из которых кратно х - 69 у – 10 у = -123 х - 69 у = 10 у -1 Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже. Подберем у так, чтобы 10 у – 1 делилось бы на 23. Очевидно, что у 0 = 7 Тогда х 0 = 24 Если уравнение ах + bу = с имеет решение (х 0 ;у 0 ), то х = х 0 – bp; y = y 0 + ap, p Z э х = р; у = р

Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подбору целых решений. Задача 16. Решите уравнение ху + 2 х + 3 у =7 в целых числах. Разложим левую часть: + 6 – 6 ху + 2 х + 3 у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6 (у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7 (у +2)(х +3) = 1313 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0 Поэтому для решения в целых числах получим системы:

Задача 17. Решите уравнение х ху + 2 у 2 = 0 в целых числах. Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром. х ху + 2 у 2 = 0D = 9y 2 – 8y 2 = y 2 (x – y)(x – 2y) = 0x = y, x = 2y, y Zэ Задача 18. Решите уравнение х ху + 2 у 2 = 11 в целых числах. (x – y)(x – 2y) = 11 Далее см. задачу 16.

Задача 19. Решите уравнение 3(х 2 + ху + у 2 ) = х + 8 у в целых числах. Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у. 3 х 2 + (3 у – 1)х + 3 у 2 – 8 у = 0 D = (3y – 1) 2 – 12(3y 2 – 8y) = - 27y y + 1 Уравнение имеет решения, если D 0 Решим: - 27y y y y – 1 = 0 у 1 - 1, … у 2 2, … y 2 y = -1, 0, 1, 2 y = х х + 11 = 0 нет целых корней y = 03 х 2 - х = 0 целое х = 0 y = 13 х х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3 y = 23 х х – 4 = 0 нет целых корней Ответ: (0;0), (1;1)

Задача 20. Решите уравнение x 2 – xy + y 2 = x + y в целых числах. Будем решать относительно х: х 2 – (1 + у)х + у 2 – у = 0. D = - 3y 2 + 6y + 1 Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть – 3 у 2 + 6y + 1 = t 2 Оценим t, выделив полный квадрат. - 3((у 2 – 2 у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1) (у – 1) = t 2 t 2 4, | t | 2, -2 t 2 t = - 2, - 1, 0, 1, 2 t = (у – 1) = 4, y = 1x 2 – 2x = 0, x = 0, x = 2 t = (у – 1) = 1, y = 2,x 2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2 t = 0- 3(у – 1) = 0, нет целых решений t = 1См. t = - 1 у =0x 2 – x = 0, x = 0, x = 1 t = 2См. t = - 2 Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0)

Задача 21. Решите уравнение 3 n + 7 = 2 m в натуральных числах. Определим последние цифры при последовательном возведении в степень: n3n3n Циф ра n2n2n Циф ра n = 2, m = 4 Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным.

Заметим, что периодичность последних цифр у 3 п и 2 т равна 4. Рассмотрим совпадение последних цифр при п = 2 + 4k и при т = 4 + 4l k k Ци фра l l Циф ра k = 9 · 3 4k l = 16 · 2 4l k=1, l= k=2, l= k=3, l= k=4, l= k=5, l= Ни при каких k и l нельзя добиться равенства. Ответ: п=2, т=4

Задача 22. Решите уравнение 2 х 2 – 5 у 2 = 3 в натуральных числах. Способ 1.Заметим, что 2 х 2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5 у 2 – нечетно, у – нечетно. х 2 х у 5 у х = 2, у = 1 Больше решений нет: 2 х 2 > 5y 2 Ответ: x = 2, y = 1 x =11242y = – 245 = - 3

Задача 22. Решите уравнение 2 х 2 – 5 у 2 = 3 в натуральных числах. Способ 2.Заметим, что 2 х 2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5 у 2 – нечетно, у – нечетно. y = 2n + 1, n = 0, n Nэ 2x 2 – 5(2n + 1) 2 = 3 2x 2 – 20n n - 5 = 3 2x 2 = 20n n + 8x 2 = 10n n + 4 Так как х – натуральное, то 10n n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х 2 = 4 х = 22· 4 – 5 у 2 = 3, у = 1 Ответ: x = 2, y = 1

Задача 23. Решите уравнение х ху + 13 у 2 = 58 в целых числах. a 2 + b 2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна. Выделим полный квадрат относительно х: х ху + 4 у 2 – 4 у у 2 = 58 (х + 2 у) у 2 = 58 Так как сумма равна 58, то 9 у 2 < 58 у 2 < 58/9В целых числах | у | < 2, y = ± 1, y = 0 у = 1, х х + 13 = 58, х х – 45 = 0, х = - 9, х = 5 Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1) При у = 0 целых х нет. у = - 1, х х + 13 = 58, х х – 45 = 0, х = 9, х = - 5 Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом

Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? Скрипкафлейтаальткларнетгобойтруба Браун Смит Вессон

Пример 2. Три одноклассника Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Имя ЮраТимур Влад Профессия Увлечения Не врач Не туризм Юра Физик Бег Влад Юрист Регби Врач Туризм

Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия? Париж РимЧикаго ПениеБалет Кино Джуди Айрис Линда Это допущение

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Китайский ЯпонскийАрабский Вадим Сергей Михаил Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны Получили противоречие.

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Китайский ЯпонскийАрабский Вадим Сергей Михаил Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Китайский ЯпонскийАрабский Вадим Сергей Михаил Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

э