ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. Опр. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

Два основных типа динамических эконометрических моделей: 1) модели авторегрессии и модели с распределенным лагом (явные модели): –ARIMA (autoregressive integrated moving average) модели (метод Бокса-Дженкинса) –ADL (autoregressive distributed lags) модели

2) модели учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t: неполной корректировки адаптивных ожиданий рациональных ожиданий

Опр. Лаговые переменные- временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени.

Явные модели модель авторегрессии p-го порядка AR(p) y t = b 0 + b 1 y t-1 + b 2 y t-2 + … + b p y t-p + t модель скользящей средней q-го порядка MA(q) y t = t + t-1 + t-2 + … + q t-q

авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно ( ARMA(p,q) модель ) y t = b 0 + b 1 y t-1 + b 2 y t-2 + … + b p y t-p + t + t-1 + t-2 + … + q t-q Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка скользящие средние из элементов белого шума.

Белый шум («чисто случайный временной ряд») – это непрерывный во времени случайный процесс w(t), для которого выполняются условия Гаусса-Маркова: 1) математическое ожидание случайного возмущения равно 0 2) дисперсия случайного возмущения постоянна для всех наблюдений ; 3) возмущения для разных наблюдений не коррелированы; 4) случайное возмущение и объясняющие переменные не коррелированы

модель с распределенным лагом p ( DL(p) ) - модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных y t = a + b 0 x t + b 1 x t-1 + … + b p x t-p + t авторегрессионная модель с распределёнными лагами порядков p и q ( ADL(p,q) модель ) y t = a + b 0 x t + b 1 x t-1 + … + b p x t-p + с 1 y t-1 + с 2 y t-2 + … + с q y t-q + t

Схема метода Бокса-Дженкинса Выбор исходной модели –анализ графика временного ряда –анализ автокорреляционной функции –анализ частной автокорреляционной функции Оценка параметров для экспериментальной проверки (МНК или метод максимального правдоподобия) Проверка адекватности модели Использование модели для прогнозирования

Преимущества и недостатки моделей ARIMA Преимущества –охватывают широкий спектр временных рядов –не используются независимые переменные –проверка на адекватность проста и доступна –прогнозы и интервалы предсказания следуют прямо из модели Недостатки –необходимо достаточно большое количество данных (для несезонных данных более 40 наблюдений) –при включении новых данных требуется перестройка всей модели –достаточно большие затраты времени и ресурсов

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде :

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени происходит изменение независимой переменной,то это изменение будет влиять на значения переменной в течение следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b o - краткосрочный мультипликатор, характеризует среднее абсолютное изменение y t при изменении x t на 1 ед.своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x.

В момент (t+1) совокупное воздействие факторной переменной x t на результат y t составит ( b o +b 1 ) усл.ед., в момент ( t+2 ) это воздействие можно охарактеризовать суммой ( b o +b 1 +b 2 ) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

Введем следующее обозначение: Долгосрочный мультипликатор- показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед.фактора x.

Положим полученные величины называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени ( t + j ).

Средний лаг представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t Медианный лаг-это величина лага,для которого

ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛАГА И ВЫБОР ВИДА МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ График зависимости коэффициентов b j от j- величины лага, позволяет выявить структуру лага: линейная геометрическая V – образная перевернутая V – образная

ЛАГИ АЛМОН лаги Алмон – это л аги, структуру которых можно описать с помощью полиномов. зависимость коэффициентов от величины лага в форме полинома k- ой степени :

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом. 1. Определяется максимальная величина лага. 2. Определяется степень полинома, описывающего структуру лага.

3. По соотношениям рассчитываются значения переменных z i

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии 5. рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом по следующим формулам

Преимущества Метода Алмон. он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов; при относительно небольшом количестве переменных, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины; мультиколлинеарность факторов z 0,…,z k сказывается на оценках параметров b 0,...,b l в меньшей степени, чем при применении стандартного МНК к исходной модели.

Метод Койка для бесконечномерной модели Предположение: существует некоторый постоянный темп уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат.

Если в период t результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b 0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t-1), результат изменится на b 0 ед.; в период (t-2)-на b 0 2 ед., и т.д.

Таким образом, лаг имеет геометрическую структуру:

Ограничение обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов. Ограничение означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии.

Чем ближе к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора.

Выразим все коэффициенты в модели через и : Тогда для периода (t-1):

Умножим обе части на и вычислим

Отсюда получим модель Койка:

Метод преобразования Койка позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии,содержащей две независимые переменные и

Средний лаг: Медианный лаг:

МОДЕЛИ АДАПТИВНЫХ ОЖИДАНИЙ модель вида (1) где фактическое значение результативного признака; ожидаемое значение факторного признака.

Механизм формирования ФАКТОРОВ в этой модели следующий: или где - коэффициент ожиданий

Утверждение. Модель адаптивных ожиданий сводится к модели авторегрессии. Док-во:

Вычитаем или где

Модель (1) называется долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. Модель (2) называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий.

Пример. Модель гиперинфляции Кейгана Y t = log (M t /P t ) M - номинальное количество денег в обращении, P - уровень цен, M/P - реальные денежные остатки,

Модель адаптивных ожиданий: Y t d = + x t+1 w + t x t+1 w = (x t - x t w ) Y t d - спрос на реальные денежные остатки, x w - ожидаемый уровень инфляции

Модель потребления Фридмена С t p = Y t p где Y t = Y t p + Y t T Y t p - постоянный доход, Y t T – переменный доход С t = С t p + С t T С t p - постоянное потребление, С t T – переменное потребление

Регрессионная модель С t = Y t p + С t T Модель адаптивных ожиданий С t = Y t + (1- ) Y t-1 + t