Сверхпроводники и разреженные сверхтекучие бозе-системы: от микро- к макроуровню – теоретическая физика Погосов Вальтер Валентинович Институт теоретической и прикладной электродинамики Российской академии наук, Москва ФИАН, 16 июня 2014 г.

I. Введение II. Куперовское спаривание в подходе Ричардсона III. Вихревое состояние и флуктуации в системах малого размера IV. Вихревые решетки в сверхпроводниках: намагниченность, пиннинг, структура V. Коммутационная техника для экситонов Френкеля Результаты План доклада

-Сверхпроводники, сверхтекучие жидкости, экситоны и т. д. – явление бозе-конденсации. Макроскопическое квантовое явление. -Прогресс технологий и экспериментальной физики позволил перейти к изучению новых систем: -Наноразмерные и наноструктурированные сверхпроводники -Конденсаты атомов щелочных металлов в ловушках -Конденсаты поляритонов в микро полостях -Молекулярные экситоны в органических агрегатах -Высокотемпературные сверхпроводники -... I. Введение Актуальность

Режим перехода от микро- к макроуровню Как формируются макроскопические свойства по мере увеличения размеров? Конечность числа частиц или топологических возбуждений. Флуктуационные режимы. Требуются новые методы описания Подходы с фиксированным числом частиц и с адекватным учетом фермионной статистики для составляющих «бозоны» фермионов. «Взаимодействие» и за счет принципа Паули. Технологические приложения

II. Куперовское спаривание в подходе Ричардсона Редуцированный гамильтониан теории Бардина-Купера-Шриффера (применим и для описания свойств металлических гранул, ферми-газов в ловушках и пр.) -Метод среднего поля в некоторых случаях может давать неточные результаты -Альтернатива: подход Ричардсона (фиксированное число частиц и точное решение уравнение Шредингера) Уравнения Ричардсона-Годена (абзаца Бете): --- уравнение для величины R j - энергия системы Аналитическое решение уравнений затруднительно. T = 0

Электростатическая аналогия (Gaudin,1976; Richardson, 1977) (кулоновская плазма в 2D – логарифмическое взаимодействие) Условие равновесия зарядов на плоскости = уравнения Ричардсона Вероятностный подход термодинамический предел, подходящий выбор T eff : «замораживание» плазмы и процедура усреднения Весовая функция:

(Квази-)вероятность: Аналогия с квадратом волновой функции Лафлина статистическая сумма сельберговский («кулоновский») интеграл Энергия квантовой системы = - логарифмическая производная от стат суммы классической системы Энергия исходной квантовой системы:

Энергия конденсации: -- совпадает с выражением Купера Две возможных интерпретации результата для энергии конденсации: 2. Через энергию связи пары 1. Через сверхпроводящую щель - плотность состояний- ширина «окна Дебая» Подтверждена асимптотическая точность метода среднего поля в макро-пределе для любой плотности пар (переход БЭК-БКШ) N – число пар

- Гамильтониан обладает электронно-дырочной симметрией - Эта симметрия скрыта в уравнениях Ричардсона - Можно получать разные точные соотношения для энергии подобных величин Малоразмерная система Энергия, как функция N, содержит только слагаемые, пропорциональные N и N(N - 1) --- граничное условие в пространстве дискретных N -- дигамма-функция

Сравнение аналитики с численными результатами и с БКШ Сплошные линии – аналитический результат, пунктир – численный расчет, точки – БКШ. энергия нормирована на N = 50 N = 25 N = 5

Когда теория БКШ перестает давать точные результаты (при уменьшении v или размеров системы)? -- когда нельзя перейти от суммирования к интегрированию, то есть: -- энергия связи единичной пары, найденная Купером Обычный энергетический масштаб – щель: Энергия связи пары – еще один масштаб энергии Загадочная величина с непонятным физическим смыслом. Переписывая, убеждаемся, что это и есть энергия пары. ***

Публикации W. V. Pogosov, M. Combescot ""Moth-eaten effect" driven by Pauli blocking, revealed for Cooper pairs", Письма в ЖЭТФ 92, 534 (2010). W. V. Pogosov, M. Combescot, M. Crouzeix "Two-Cooper-pair problem and the Pauli exclusion principle", Phys. Rev. B 81, (2010). W. V. Pogosov "'Probabilistic' approach to Richardson equations"; J. Phys.: Condens. Matter 24, (2012). W. V. Pogosov "Excited states in Richardson pairing model: 'probabilistic' approach", Prog. Theor. Phys. 128, 1 (2012). W. V. Pogosov, N. S. Lin, V. R. Misko "Electron-hole symmetry and solutions of Richardson pairing model", Eur. Phys. J. B 86, 235 (2013).

Малоразмерные («мезоскопические») сверхпроводники Разреженные конденсаты атомов щелочных металлов в ловушках -- От квантования частиц – к квантованию числа топологических дефектов -- Приближение среднего поля (уравнения Гинзбурга-Ландау и Гросса- Питаевского) III. Вихревое состояние и флуктуации в системах малого размера Метод пробных функций Для небольшой системы достаточно учесть несколько слагаемых

Критическая температура Эксперименты с гетероструктурами «сверхпроводник-ферромагнетик» (группа В. В. Мощалкова, Бельгия ) Возможное применение в сверхпроводящих кубиках: наводит сдвиг фазы

Публикации по свойствам гетероструктур «сверхпроводник-ферромагнетик»

Мезоскопические образцы с подавленной поверхностной сверхпроводимостью Равновесные вихревые фазовые диаграммы Зависимость намагниченности от поля: подавление дискретности W. V. Pogosov, Phys. Rev. B (2002) Спинорные конденсаты в атомах щелочных металлов в ловушке Экспериментальное подтверждение: Leslie et al., Phys. Rev. Lett., 2009 Равновесные вихревые фазовые диаграммы, F = 2 Экзотические несингулярные вихри – размерные эффекты W. V. Pogosov, R. Kawate, T. Mizushima, K. Machida, Phys. Rev. A (2005) Вход вихря во вращающийся конденсат в ловушке У системы нет четко выраженной границы Механизм образования вихря через пары «вихрь-антивихрь» W. V. Pogosov, K. Machida, Laser Physics (2006)

Подавление поверхностного барьера в сверхпроводящих островках температурными флуктуациями Отсутствие гистерезиса на вход и выход вихря Эксперимент группы Родичева (Франция) Cren et al., PRL (2009) Эксперимент группы Хасегавы (Япония) Nishio et al., PRL (2008) Температурные флуктуации? -- параметр порядка -- коэффициент вязкости (механизм Бардина-Стефена) -- время термоактивации (из уравнения Фоккера-Планка) W. V. Pogosov, Phys. Rev. B (2010).

Индуцированные геометрией флуктуации в сверхпроводящих островках Как влияет треугольная геометрия островка на температурные флуктуации? Треугольные островки из свинца Типичная толщина – несколько нанометров Поперечные размеры – сотни нанометров фаза: плотность-плотность: Корреляционные функции - Флуктуации сильнее выражены в углах – локальное понижение размерности системы. - Важно для приложений – фотодетекторы, в которых флуктуации ответственны за сбои (сглаживание углов?). W. V. Pogosov, V. R. Misko, F. M. Peeters, Phys. Rev. B (2010).

Подавление поверхностного барьера квантовыми флуктуациями ( макроскопическое квантовое туннелирование вихря ) Подход Леггетта-Калдейры Евклидово действие Островок из свинца толщиной несколько монослоев, радиус – сотни нанометров r(t) – радиальная координата вихря. Размерные эффекты: Вход вихря – более вероятно туннелирование Выход вихря - термоактивация Туннелирование должно быть наблюдаемо экспериментально W. V. Pogosov, V. R. Misko, Phys. Rev. B (2012).

1. Плавление вихревых кластеров в 2D - Для высокосимметричных кластеров температуры плавления на порядки выше - Температура плавления может быть гораздо ниже критической W. V. Pogosov, K. Machida, Phys. Rev. A 74, (2006). Температурные флуктуации в конденсатах атомов в ловушках Флуктуации угла ведут к сильным флуктуациям намагниченности 2. Спин F = 1: решения с несингулярными вихрями в ловушке W. V. Pogosov, K. Machida, Phys. Rev. A 74, (2006). 3. Спин F = 2: циклическая фаза - Сложные композитные кинки - Переход с потерей огранки в 2D (roughening transition) W. V. Pogosov, K. Machida, Phys. Rev. A 74, (2006).

- Роль небольших кластеров, коллективных структур, доменов из вихрей в магнитных и токонесущих свойствах - Пиннинг вихрей – увеличение критического тока. - Наноструктурированные сверхпроводники решетки вихрей в конденсатах атомов щелочных металлов - «Мезоскопический» масштаб длины – сердцевины вихрей IV. Вихревые решетки в сверхпроводниках: намагниченность, пиннинг, структура

Обратимая намагниченность – вариационная модель Магнитное поле: Приближение круглой ячейки и пробная функция: - Известные аналитические результаты – слабые поля (модель Лондонов) и сильные поля (метод Абрикосова) - Для анализа экспериментальных данных по ВТСП важны промежуточные поля B. B. Погосов, А. Л. Рахманов, К. И. Кугель, ЖЭТФ (2000), W. V. Pogosov, K. I. Kugel, A. L. Rakhmanov, E. H. Brandt, Phys. Rev. B (2001).

Намагниченность

- Модель Лондонов асимптотически точна в малых полях, а соответствующие аргументы Клема с соавторами неправильны (J. R. Clem и др., 1991). - Критика модели Хао-Клема (Hao-Clem model). Сравнение с известными асимптотиками: Сравнение с экспериментом: - -

Сверхпроводящая пленка Pb(500Å) с отверстиями M. Baert et al. PRL 74 (1995) Сверхпроводящая пленка с магнитными точками M.J. Van Bael et al. PRB 68, (2003) Вихревая решетка в присутствии периодических центров пиннинга Аналогичная физика – коллоиды на периодических подложках

Сильный пиннинг – вихри зацеплены за центры – квадратная решетка Слабый пиннинг – искаженная треугольная решетка Что посередине? Есть еще промежуточная фаза «Гауссова» яма Параболическая яма W. V. Pogosov, A. L. Rakhmanov, V. V. Moshchalkov, Phys. Rev. B (2003). Фазовые диаграммы системы:

Комбинация аналитических методов и численного эксперимента Вихревая решетка в присутствии периодических центров пиннинга и беспорядка: статика Красные точки – вихри, открытые круги – периодические центры, синие круги – случайные центры пиннинга Коллективные дефекты решетки вихрей W. V. Pogosov, V. R. Misko, H. J. Zhao, F. M. Peeters, Phys. Rev. B (2009). Беспорядок – дополнительные хаотически расположенные центры

Фазовая диаграмма I – промежуточное состояние II – квадратная решетка III – смесь I и II Эволюция дефектов квадратной решетки вихрей

средняя скорость движения вихрей в зависимости от внешней силы кривая 1: f rand = f reg /6, кривая 2: f rand = f reg /3, кривая 3: f rand = f reg /2. концентрации рег. и случ. центров одинаковые Вихревая решетка в присутствии периодических центров пиннинга и беспорядка: динамика W. V. Pogosov, H. J. Zhao, V. R. Misko, F. M. Peeters, Phys. Rev. B (2010).

Динамические режимы Режим-I: срыв кинков/антикинков Режим-II: генерация пар «кинк-антикинк» в «слабых точках» Режим-III: свободное рождение пар «кинк-антикинк» (действие потенциала «стиральной доски» движущегося кинка) Хорошее согласие между теорией и численным экспериментом; реальный эксперимент с пленками: Facio et al., J. Phys.: Condens. Matter (2013).

Мотивация: - Экситоны Френкеля – молекулярные кристаллы, агрегаты - Возможность использования в «органической» электронике - Проблема учета небозевости статистики Один из возможных способов решения: Теория многих тел для экситонов Ванье-Мотта M. Combescot, O. Betbeder-Matibet, F. Dubin, Physics Reports 463, 215 (2008). M. Combescot, O. Betbeder-Matibet, Phys. Rev. Lett. 104, (2010). - трионы M. Combescot, S.-Y. Shiau, Y.-C. Chang, Phys. Rev. Lett. 106, (2011). – конечные температуры M. Combescot, O. Betbeder-Matibet, R. Combescot, Phys. Rev. Lett. 99, (2007). – конденсат «темных» экситонов R. Combescot, M. Combescot, Phys. Rev. Lett. 109, (2012) – БЭК-БКШ. M. Combescot, M. G. Moore, C. Piermarocchi, Phys. Rev. Lett. 106, (2011) – оптические ловушки для экситонов. V. Коммутационная техника для экситонов Френкеля Одноэлектронный базис для описания экситонов Френкеля – не свободные волны, а локализованные состояния на индивидуальном узле + приближение сильной связи.

Гамильтониан в представлении вторичного квантования (электроны и дырки): Взаимодействие: -перенос возбуждения от узла к узлу

Коммутационная техника Оператор рождения экситона Френкеля: Соотношения коммутации: - бозонное - не вполне бозонное - возвращаемся к исходным операторам - важное свойство

Коммутаторы с гамильтонианом - Коммутационные соотношения можно обобщить на операторы рождения произвольного числа экситонов - Систематичность вычислений

Энергия системы в первом приближении по взаимодействию Снова слагаемые только по N и N(N – 1), как в случае куперовских пар в БКШ.

- Потенциал БКШ – «сильная связь» в пространстве импульсов (спаривает только электроны с противоположными импульсами и спинами) - Гамильтониан системы экситонов Френкеля – сильная связь в реальном пространстве (спаривает только электроны и дырки на одном узле) Отличия от экситонов Ванье-Мотта, для которых нет такого «однозначного» спаривания

Публикации M. Combescot, W. V. Pogosov "Microscopic derivation of Frenkel excitons in second quantization", Phys. Rev. B 77, (2008). M. Combescot, W. V. Pogosov "Composite boson many-body theory for Frenkel excitons", Eur. Phys. J. B 68, 161 (2009). W. V. Pogosov, M. Combescot "Ground state energy of N Frenkel excitons", Eur. Phys. J. B 68, 183 (2009).

Основные результаты и выводы 1. Разработан «вероятностный» метод решения уравнений Ричардсона, основанный на электростатической аналогии. Положение центра масс системы зарядов на плоскости комплексной энергии определяется с помощью интегрирования. Предложены аналитические методы вычисления соответствующих интегралов сельберговского типа. Подход может быть распространен на другие типы уравнений Бете, для которых существует электростатическая аналогия. 2. С помощью предложенного метода показано, что обобщенная теория БКШ в лидирующем порядке по числу частиц точно описывает переход от конденсата БКШ к конденсату локальных фермионных пар при нуле температур. 3. Продемонстрировано, что в сверхпроводниках существует скрытый масштаб энергии, соответствующий энергии связи единичной пары. Показано, как результаты теории БКШ для макроскопически больших систем могут быть интерпретированы с этих позиций. В малых системах теория БКШ перестает адекватно работать, когда расстояние между соседними уровнями одноэлектронных состояний оказывается сопоставимым с энергией связи пары. 4. Показано, что в модели Ричардсона имеется скрытая симметрия между парами электронов и парами дырок. Это свойство использовано для описания перехода между конденсатом БКШ в системах макроскопического размера к системам ультрамалого размера. Предложена простая формула для энергии основного состояния.

5. Исследованы вихревые фазовые диаграммы малоразмерных сверхпроводников, гибридных структур «сверхпроводник-ферромагнетик» и бозе-конденсатов атомов щелочных металлов. Показано, что проникновение вихрей в конденсат происходит через образование пар «вихрь-антивихрь» на границе системы. 6. Построена модель термоактивационного проникновения вихря в ультрамалый сверхпроводящий образец. Показано, что температурные флуктуации могут подавлять поверхностный барьер в островках из низкотемпературных сверхпроводников. Определены критерии перехода от термоактивации вихря к его макроскопическому квантовому туннелированию. 7. Предсказано усиление флуктуаций в углах сверхпроводящих островков и наноструктур из-за локального уменьшения эффективной размерности системы. 8. Предсказано существование сильных флуктуаций разностей фаз между различными компонентами параметра порядка в спинорных бозе-конденсатах атомов щелочных металлов. 9. Предсказано существование сильных флуктуаций кластеров вихрей в скалярных квази-двумерных конденсатах в оптических и магнитных ловушках. Температура разупорядочивания кластера существенно зависит от его симметрии и деформации ловушки. 10. Построена вариационная модель для обратимой намагниченности сверхпроводников второго рода, применимая во всем диапазоне полей между первым и вторым критическим полем. Предложена аналитическая формула для намагниченности.

11. Рассмотрены свойства вихревой решетки в системе периодических центров пиннинга. Исследованы необычные фазы вихревой решетки, возникающие из-за конкуренции между отталкиванием вихрей и периодическим потенциалом. Разупорядочивание решетки из-за введения в систему беспорядка происходит в несколько этапов. Показано, что в случае слабого беспорядка критический ток определяется дефектами типа «кинк». Эти же дефекты, а также пары «кинк-антикинк» определяют и основные динамические режимы. 12. Разработана теория многих тел для экситонов Френкеля, которая точно учитывает фермионную статистику для составляющих их электронов и дырок. Предложена коммутационная техника для вычисления матричных элементов. Показано, что энергия основного состояния системы из произвольного числа экситонов Френкеля в первом приближении по взаимодействию содержит только линейные и квадратичные слагаемые по числу экситонов.

Ультрамалая система: Макроскопическая система:

«пайрон» Правила коммутации: бозон отклонение от бозона

Волновая функция БКШ Проекция на состояние с фиксированным N амплитуда вероятности того, что два состояния заняты = произведению амплитуд вероятностей для индивидуальных ф-й.

Двухчастичная корреляционная функция: разложение: в разреженном пределе: обычные волновые функции пары. Обобщим на произвольный случай. «аномальная» корреляционная функция:

F = 1 Ферромагнитная фаза Антиферромагнитная и полярная фазы

Ферромагнитное упорядочение Синглетное спаривание Ферромагнитная фаза Полярная фаза Циклическая фаза F = 2

n i m j Две диаграммы