З Д Р А В С Т В У Й Т Е!

Лекция 4. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 4.1. Понятие состояния частицы в классической механике 4.2. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта 4.3. Второй закон Ньютона. Сила. Масса. Импульс 4.4. Третий закон Ньютона

4.1. ПОНЯТИЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Кинематика даёт описание движения тел, не затрагивая вопроса о том, почему тело движется именно так (например, равномерно по окружности, или равномерно ускоренно по прямой), а не иначе. Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействия между телами), которые обуславливают тот или иной характер движения.

Основная задача динамики заключается в ответе на вопрос о том, как изменит своё состояние система при внешних воздействиях. Для этого необходимо: 1. Установить величины, описывающие состояние физической системы. 2. Составить уравнения движения, описывающие изменения состояния системы во времени.

3. Определить физические величины, измерения которых при проведении опытов дают возможность судить о том, что происходит реально с исследуемой системой. Опыт показывает, что в классической физике состояние частицы полностью определяется координатами (x, y, z) и компонентами её скорости в заданный момент времени, т. е. радиус- вектором частицы и её скоростью.

Это определение является фундаментальным, и оно обуславливает границы применимости классических представлений (если mar >>h – то имеем дело с классическими законами). Здесь m - масса частицы, υ – ее скорость, R – размер области, в которой происходит движение, h – постоянная Планка. Например, электрон в атоме водорода имеет m кг, υ = 10 6 м/с, R м (размер атома водорода). Тогда mυR h и движение подчиняется квантовым законам.

При нерелятивистских скоростях состояние любой системы можно определить совокупностью состояния всех её частиц. Состояние системы из N нерелятивистских классических частиц описывается радиус-векторами и скоростями в заданный момент времени. Для такой системы полное число величин, определяющих её состояние, равно 2N (напоминаю, что число степеней свободы будет в два раза больше, т.е. 6N). Из определения механического состояния следует, что любые величины, характеризующие свойства системы, являются функциями положения! и скоростей! частиц её образующих.

Ускорение может быть выражено как функция основных параметров системы: Вид правой части функции должен определяться свойствами частиц и внешними условиями. Если эти условия меняются со временем, то в правой части уравнения появится явная зависимость от времени.Уравнения, типа приведённого выше, называют уравнениями движения в классической механике.

Рассмотрим для примера одну частицу. Соотношение является дифференциальным уравнением второго порядка относительно неизвестной функции (t). Эту функцию можно найти двумя последовательными интегрированиями. Понятно, что при интегрировании возникают неопределённые константы. Поэтому для однозначного определения закона движения следует задать граничные (обычно начальные) условия, которые позволяют определить значение константы интегрирования: Таким образом, общее решение динамических задач может быть найдено, если, во-первых, известны уравнения движения и, во-вторых, задано состояние в начальный момент времени (определены начальные условия задачи).

4.2. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её (его) изменить это состояние. Оба названных состояния отличаются тем, что скорость тела постоянна. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остаётся постоянной (в частности, равной нулю), пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет её изменения.

Стремление тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции. Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчёта. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчёта, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчёта. Инерциальной системой отсчёта является такая система отсчёта, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно (т. е. с постоянной скоростью). !!!Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчёта!!!.

Опытным путём установлено, что инерциальной системой отсчёта можно считать гелиоцентрическую (звёздную) систему отсчёта (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определённых звёзд). Система отсчёта, связанная с Землёй, строго говоря, неинерциальная, однако эффекты, обусловленные её неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца) при решении многих задач малы, и в этих случаях её можно считать инерциальной. Из приведённых выше примеров легко понять, что основным признаком инерциальной системы является отсутствие у неё ускорения. Таким образом, сущность первого закона Ньютона может быть сведена к трём основным положениям:

1. Все тела обладают свойствами инерции. 2. Существуют инерциальные системы отсчёта, в которых выполняется первый закон Ньютона. 3. Движение относительно. Если тело A движется относительно тела B со скоростью, то и тело отсчёта B, в свою очередь, движется относительно тела A с той же скоростью, но в обратном направлении.

4.3. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА. МАССА. ИМПУЛЬС. Сила. Мерой взаимодействия тел или частиц, из которых состоят тела, является сила. В современной физике различают следующие типы взаимодействия: а) гравитационное, возникающее между телами за счёт всемирного тяготения;

б) электромагнитное, возникающее между неподвижными или движущимися заряженными частицами или телами; в) сильное, или ядерное, характеризующее взаимодействие элементарных частиц, например тех, которые входят в состав атомного ядра; г) слабое взаимодействие, имеющее своим результатом распад некоторых элементарных частиц.

В механике рассматриваются силы, возникающие при непосредственном контакте тел (силы трения, силы упругости), или на расстоянии. В последнем случае говорят о наличии особого вида материи – поля. Результатом взаимодействия тел является либо деформация, т. е. изменение размеров или формы тела (статическое проявление сил), либо ускорение, т. е. изменение величины или направления скорости (динамическое проявление сил). Конечно, не исключено, что одновременно могут возникнуть и деформация и ускорение. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения.

Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

МАССА Во втором законе Ньютона (который мы рассмотрим ниже) используется понятие массы. Сам Ньютон использовал термин «масса» как «синоним количества вещества». Это интуитивное представление о массе тела не вполне корректно, так как понятие «количество вещества» само не вполне определено. Выражаясь точнее можно сказать, что Масса является мерой инертности тела.

Чтобы ввести понятие массы, нужно определить для неё эталон и единицу измерения. В системе СИ единицей массы является килограмм (кг). Действующий эталон массы представляет собой цилиндр из платиноиридиевого сплава, хранящийся в Международном бюро мер и весов вблизи Парижа (г. Севр); по определению масса этого цилиндра точно равна одному килограмму. При изучении атомов и молекул часто применяется атомная единица массы (а. е. м. ). По определению масса атома углерода ( 12 C) точно равна 12 а. е. м. На сегодняшний день наилучшее измеренное значение а. е. м. равно 1 а. е. м. = (1, , )· кг. или округлённо 1 а. е. м. = 1,6606· кг.

Имея единицу массы можно построить шкалу масс (т. е. определить массу в 2 кг, 3 кг и т. д.) двояким образом. Первый метод, в общем, соответствует определению массы по Ньютону как «количества вещества». Он основан на использовании рычажных весов. Любая неизвестная масса может быть измерена уравновешиванием комбинаций её известных масс. В основе этого метода лежит тот факт, что равновесие чашек рычажных весов с одинаковыми плечами имеет место, когда сила тяжести на обе взвешиваемые массы действует одинаково. Поэтому масса, определяемая таким способом, часто именуется гравитационной массой.

Второй метод определения шкалы массы основан на понятии инертности и втором законе Ньютона. Масса, определяемая таким способом, называется инертной массой. Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная масса равна гравитационной (с точностью не меньшей их значения).

В классической механике массе приписывают следующие свойства: а) масса – инвариантна (не зависит от движения); б) масса аддитивна (масса системы тел равна сумме масс каждого из них); в)выполняется, сформулированный М. В. Ломоносовым, закон сохранения массы - в замкнутой системе её масса остаётся неизменной при любых протекающих в ней процессах.

Нередко путают понятия массы и веса, между которыми имеется существенное различие. Масса – это свойство самого тела (она является мерой инертности тела или его «количества движения»). Вес – это сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес (вес численно равен силе тяжести, если опора или подвес не имеют ускорения). Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил: ~ (m = const!!!) (4.1) При действии одной и той же силы на тело с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно a ~ 1/m ( = const!!!) (4.2) Используя выражения (4.1) и (4.2) и учитывая, что сила и ускорение – величины векторные, можем записать (4.3)

Соотношение (4.3) выражает Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

Векторная величина (4.6) численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом материальной точки. Подставляя (4.6) в (4.5), получим (4.7,а) или (4.7,б) Это выражение – более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе(4.7,а) или импульс силы равен импульсу тела. Выражение (4.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ – НЬЮТОН (Н): 1Н – сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы: 1Н = 1 кг·м/с 2 !!!Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта!!! Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорения (см. (4.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчёта, в которых только и выполняется уравнение (4.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разложить на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис.5.1 действующая сила разложена на две составляющие: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по нормали к центру кривизны). Рис. 5.1

Используя выражения a τ =dυ/dt и a n =υ 2 /R, можно записать: Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под во втором законе Ньютона понимают результирующую силу: Здесь имеет место геометрическое суммирование.

4.3. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Второй закон Ньютона количественно описывает то, как силы влияют на движение. Но возникает естественный вопрос о том, откуда появляются силы. Наблюдения наводят на мысль, что сила, приложенная к любому телу, возникает в результате воздействия другого тела. Лошадь тянет повозку, человек толкает тележку с продуктами, молоток бьёт по гвоздю, магнит притягивает железную иглу. В каждом из этих случаев одно тело (например, молоток) действует на другое (например, гвоздь) с определённой силой и второе тело испытывает воздействие этой силы. Однако, Ньютон осознал, что ситуация не может быть столь односторонней.

Действительно, хотя молоток действует на гвоздь, гвоздь в свою очередь тоже действует на молоток, потому что скорость молотка при контакте с гвоздём быстро уменьшается до нуля. Только весьма значительная сила может вызвать такое быстрое торможение. Поэтому Ньютон пришёл к выводу, что оба тела надо рассматривать на общих основаниях. Молоток действует на гвоздь, но и гвоздь в ответ тоже действует на молоток: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия. В этом и состоит третий закон Ньютона: Всякий раз, когда одно тело действует на другое с некоторой силой, со стороны второго тела на первое действует сила противодействия, равная по величине и противоположная по направлению силе действия.

Чтобы убедиться в справедливости третьего закона Ньютона, нажмите на край стола ладонью. Вы увидите, что край стола оставил вмятину на вашей ладони – явное свидетельство того, что она испытала действие силы. Вы можете даже почувствовать действие стола на вашу ладонь – Вам будет больно. Чем сильнее Вы давите на стол, тем сильнее стол давит на Вашу ладонь. При использовании третьего закона Ньютона очень важно различать, к какому телу приложена данная сила и со стороны какого тела она действует. Основной вывод состоит в том, что сила влияет на характер движения только тогда, когда она приложена именно к этому телу. Сила, с которой данное тело действует на другое, не влияет на движение этого первого тела. Она влияет только на другое тело, а именно на то, к которому она

приложена. Поэтому во избежание недоразумений важно всегда точно указать оба объекта: действующий с силой и испытывающий это действие. Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и !!!для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками!!!.

Из третьего закона Ньютона вытекают два важных следствия: 1). Если есть силовое поле, то должно существовать тело его создающее, т.е. если на тело действует сила, то должно быть другое тело, на которое действует такая же сила по величине и обратная по направлению. Это положение лежит в основе многих геофизических методов разведки. А именно, если есть аномалия силового поля, то её причиной является некое геологическое тело, свойства которого (гравитационные, магнитные или электрические) отличаются от вмещающих пород. 2). Внутренние силы системы не могут изменить её движения, так как они попарно равны и противоположны, а их сумма равна нулю.

Л Е К Ц И Я О К О Н Ч Е Н А ! УРА!!! До свидания…