Математические схемы описания технических систем Математические схемы такого вида отражают динамику процессов, протекающих во времени в системе. Поэтому они называются D– схемы. Частным случаем динамических систем являются системы автоматического управления.

Линейная автоматическая система описывается линейным дифференциальным уравнением вида где x(t)- задающее воздействие или входная переменная системы; y(t) - состояние системы или выходная переменная;. коэффициенты; t - время.

укрупненная функциональная схема системы автоматического управления, где – сигнал ошибки; - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие. Данная система основана на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения выходной переменной y(t) к ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. По ней можно разработать структурную схему и математическую модель в виде передаточной функции или в виде дифференциального уравнения (1.1), в котором для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают с входом системы.

укрупненная функциональная схема системы автоматического управления

Дискретно–детерминированные модели ( F – схемы ) Основным видом дискретно– детерминированных моделей является конечный автомат. Конечным автоматом называют дискретный преобразователь информации, способный под воздействием входных сигналов переходить из одного состояния в другое и формировать сигналы на выходе. Это автомат с памятью. Для организации памяти в описание автомата вводят автоматное время и понятие состояние автомата.

Понятие «состояние» автомата означает, что выходной сигнал автомата зависит не только от входных сигналов в данный момент времени, но и учитывает входные сигналы, поступающие ранее. Это позволяет устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы как функцию состояний и входных сигналов.

Существует два способа введения автоматного времени по которому автоматы делятся на синхронные и асинхронные.

Синхронные автоматы В синхронных автоматах моменты времени, в которых фиксируются изменения состояний автомата, задаются специальным устройством – генератором синхросигналов. Причем сигналы поступают через равные интервалы времени –. Частота тактового генератора выбирается такой, чтобы любой элемент автомата успел закончить свою работу до появления очередного импульса.

Асинхронные автоматы В асинхронном автомате моменты перехода автомата из одного состояния в другое заранее не определены и зависят от конкретных событий. В таких автоматах интервал дискретности является переменным.

Детерминированные автоматы В детерминированных автоматах поведение и структура автомата в каждый момент времени однозначно определены текущей входной информацией и состоянием автомата.

Вкроятностные автоматы В вероятностных автоматах они зависят от случайного выбора.

Абстрактно конечный автомат Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F – схему), которая характеризуется шестью видами переменных и функций: конечное множество x(t) входных сигналов (входной алфавит); конечное множество y(t) выходных сигналов (выходной алфавит); конечное множество z(t) внутренних состояний (алфавит состояний); начальное состояние автомата z 0, ; функция переходов автомата из одного состояния в другое; функция выходов автомата.

Абстрактный конечный автомат имеет один вход и один выход. В каждый дискретный момент времени t=0,1,2,... F– автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z – состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=z 0. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал, переходя в состояние.

Дискретно – непрерывные модели Процессы в линейных импульсных и цифровых системах автоматического управления описываются дискретно – разностными уравнениями вида: (1.2) где x(n) –решетчатая функция входного сигнала; y(n) –решетчатая функция выходного сигнала, которая определяется решением уравнения (1.2); b k – постоянные коэффициенты – разность к – го порядка; t=nT, где nT – n–ый момент времени, T – период дискретности ( в выражении (1.2) он условно принят за единицу

Дискретно – стохастические модели ( Р - схемы) К дискретно – стохастической модели относится вероятностный автомат. В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Поведение автомата зависит от случайного выбора.

Непрерывно–стохастические модели (Q– схемы) Такие модели рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые называют Q– схемами. Такие Q– схемы применяются при формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания. К процессам обслуживания можно отнести: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов сети ЭВМ.

На каждый элемент прибора П i поступают потоки событий, в накопитель Н i поток заявок, на канал К i – поток обслуживания И i.

Стохастические минимаксные модели Эти модели можно отнести к оптимальным стохастическим моделям. Во многих случаях при построении модели не все условия заранее известны. Эффективность нахождения модели здесь будет зависеть от трех факторов: заданных условий х 1, x 2,...,x n ; неизвестных условий y 1,y 2,...,y k ; зависящих от нас факторов и 1,и 2,...,и m, которые необходимо найти.

Показатель эффективности решения такой задачи имеет вид: Наличие неизвестных факторов y i переводит задачу оптимизации в задачу о выборе решения в условиях неопределенности. Задача становится чрезвычайно сложной.

Имитационное моделирование технических систем Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на основе этой модели с целью улучшения функционирования системы. Под имитацией с использованием ЭВМ мы будем понимать численный метод проведения на вычислительных машинах экспериментов с математическими моделями, описывающих поведение сложной системы в течение продолжительного периода времени.

Достоинства и недостатки имитационного моделирования К имитационному моделированию прибегают обычно в тех случаях, когда: нельзя решить задачу аналитическим способом с помощью физического эксперимента; натурный эксперимент очень дорог; натурный эксперимент может нарушить ход производственного процесса или порядок работы фирмы; составной частью системы являются люди ( люди будут чувствовать, что за ними наблюдают, вследствие чего могут изменить свое поведение); оказывается сложным поддержание одних и тех же рабочих условий при каждом повторном эксперименте или в течении всего времени проведения серии экспериментов; при экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование многих альтернативных вариантов.

Недостатки имитационного моделирования Однако следует отметить недостатки имитационного моделирования. Разработка эффективной имитационной модели часто обходится дорого и требует много времени. Так даже для малой фирмы создание имитационной модели эффективного функционирования может потребоваться более трех лет. Кроме того, требуются высококвалифицированные специалисты. [14] Полученная имитационная модель может оказаться не адекватной, т.е. она может не отражать реальный ход процесса или событий. Имитационная модель, если говорить о её корректности, то она в принципе не точна и нет способов измерить степень её точности. Хотя частично степень точности может быть получена в результате анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.

Процесс имитации Определение системы - установление границ ограничений и эффективности системы, подлежащей изучению. Формирование модели - переход от реальной системы к некоторой логической системе (абстрагирование). Подготовка данных - отбор данных необходимых для построения модели и представление их в соответствующей форме. Трансляция модели - описание модели на языке, приемлемом для использования на ЭВМ. Оценка адекватности - повышенная до приемлемого уровня степень уверенности, с которой можно судить относительно корректировки выводов о реальной системе. Стратегическое планирование - планирование эксперимента (данная тема выделена в отдельную главу учебного пособия см. гл.4). Тактическое планирование - определение способа проведения каждой серии испытаний, представленных планом эксперимента. Экспериментирование - процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности. Интерпретация - построение выводов по данным, полученным путем имитации. Реализация - практическое использование модели. Документирование - регистрация хода осуществления проекта и его результатов.

Моделирующий алгоритм Среди важнейших операторов моделирующих алгоритмов выделим следующие. Вычислительные операторы. Это в основном арифметические операторы. В операторных схемах моделирующих алгоритмов вычислительный оператор может описывать любую сколь угодно сложную и громоздкую группу операций. Операторы формирования реализаций случайных чисел, величин, событий и процессов. Операторы формирования неслучайных величин. Они нужны при моделировании детерминированных математических моделей для реализации различных констант и неслучайных функций времени.

Принципы построения моделирующих алгоритмов Принцип фиксированного шага. Принцип переменного шага Принцип особых состояний Принцип последовательной проводки заявок

Принцип фиксированного шага. Принцип переменного шага Существует два основных метода задания времени: с помощью фиксированных и переменных интервалов времени. Их иногда еще называют метод фиксированного шага t и шага до следующего события. По методу фиксированного временного шага отсчет системного времени ведется через заранее определенные временные интервалы. При использовании метода переменного шага состояние моделируемой системы обновляется с появлением следующего события. В непрерывных моделях используются механизмы фиксированных приращений временных интервалов. В большинстве моделей с дискретным изменением событий используется метод отсчета времени до следующего события.

Принцип особых состояний Бывают случаи, когда соотношения математических моделей систем удается преобразовать таким образом, что можно определить последующее особое состояние системы по предыдущему особому состоянию или нескольким предыдущим состояниям. Для таких случаев моделирующий алгоритм может быть построен по так называемому принципу "особых состояний". Он отличается от принципа t только тем, что включает в себя процедуру определения момента времени, соответствующего следующему особому состоянию по известным характеристикам данного или предыдущего состояния.

Принцип последовательной проводки заявок В системах массового обслуживания при моделировании процессов обработки заявок иногда удобно строить моделирующие алгоритмы по принципу воспроизведения истории отдельных заявок в порядке поступления их в систему. Алгоритм обращается к сведениям о других заявках лишь в том случае, если это необходимо для решения вопроса о дальнейшем порядке обслуживания данной заявки. Такие алгоритмы весьма экономны, однако они требуют весьма сложную логическую структуру. При моделировании систем массового обслуживания и дискретных производственных процессов, как правило используют этот принцип, называемый иногда "принцип последовательной проводки заявок". Данный принцип, иногда в сочетании с принципом t, лежит в основе почти всех языков моделирования

Языки моделирования Для имитационного моделирования используются как универсальные, так и специальные языки. Универсальные языки дают большие возможности программисту в смысле гибкости разработки, отладки и использования модели. Однако это требует больших усилий, затрачиваемых на программирование. В этом случае усложняется порядок выполнения операций, отсчет системного времени и контроль.

Специализированный язык отличается от универсального своими специфическими свойствами К этим свойствам или требованиям можно отнести: способность генерировать случайные числа; возможность генерировать случайные величины и процессы; возможность "продвигать" время либо на одну единицу t, либо до следующего события; способность накапливать выходные данные; способность проводить статистический анализ накапливаемых данных; способность распределять выходные данные по заранее заданным форматам; способность выполнять идентификацию конкретных событий.

Языки для моделирования дискретных процессов можно разбить на четыре категории: языки, ориентированные на действия (CSL, Форсим IV и др.); языки, ориентированные на события (Симскрипт, Симком и др.); языки, ориентированные на процессы (Симула, SOL); языки, ориентированные на потоки сообщений (GPSS, BOSS).

Генераторы случайных чисел. Псевдослучайные числа Определим основные требования, которым должен удовлетворять идеальный генератор. То есть псевдослучайные последовательности чисел должны: состоять из квазиравномерно распределенных чисел; содержать статистически независимые числа; быть воспроизводимыми; программа генерации должна иметь наименьшие затраты машинного времени и занимать минимальный объем памяти.