Экскурс в мир геометрии и топологии

Топологи изучают фигуры, которые можно деформировать и скручивать, их в шутку называют «математиками, не способными отличить бублик от чашки».

Топологический человек

И геометрия, и топология изучают формы. В геометрии, рассматривающей метрические свойства (расстояния, углы и пр.), основное внимание уделяется локальной форме пространства. В топологии же все объекты считаются эластичными, все они деформируются, при этом рассматривается глобальная форма объекта как он переплетается, сколько отверстий имеет. Геометрия и топология неразрывно связаны: локальная форма в немалой степени определяет глобальную.

При топологическийх преобразованиях сохраняется число компонент, то есть «кусков», из которых состоит фигура. Фигура, состоящая из одной компоненты, называется связной, а более чем из одной, несвязной. Буквы А, Б, В связные, а Ё, Ы несвязные.

Топологическим понятием является индекс точки, то есть число ветвей линии, которые выходят из этой точки. Точка индекса 1 называется иначе концевой, точка индекса 2 регулярной, точка индекса 3 точкой ветвления. Изолированные точки имеют индекс 0. Буква Р имеет одну концевую точку и одну точку ветвления индекса 3; буква Ё - три концевые точки, одну точку ветвления индекса 3 и 2 изолированные; буква Г две концевые точки; все остальные точки этих букв регулярные.

Число нерегулярных точек линии того или иного индекса является топологическийм инвариантом линии. Топологическим инвариантом является порядок связности, наибольшее число регулярных точек, которые можно выбросить, не увеличивая числа компонент. Например, буквы В и Ф, цифра 8 двухсвязные, А, Б, Д, О, Р, Ю, Я, 0, 6 или 9 – односвязные, остальные – нуль-связные.

На этом, во многом, основано распознавание топологическийх форм с созданием библиотек классов, что широко используется во многих областях науки и техники, среди которых стереохимия, распознавание оптических образов текстов, геоинформатика и др. Топологические методы отличаются тем, что рассматриваются не размеры и геометрические параметры объектов, а структура объекта, взаимосвязи между его отдельными составляющими.

Если задано отображение f, которое каждой точке множества X ставит в соответствие точку множества Y и 1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные; 2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие; 3) обратное отображение непрерывно, гомеоморфизмом то множества X и Y – гомеоморфны, а отображение f называется гомеоморфизмом (от греческого «гомео» «одинаковый» и «морфо» «форма»).

Установление гомеоморфности - собственно распознавания - сводится к сравнению описаний предъявленного изображения и эталонных изображений. Важное достоинство топологического описания - его нечувствительность к сильным деформациям изображения, оно опирается на топологическую структуру объекта, не изменяющуюся при малых деформациях. Для рукописных образов, например, разрывы линий являются ожидаемой деформацией.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ Рассматривая положения, которые молекула может занимать в пространстве, мы сталкиваемся с ограничениями топологической природы. Длинная замкнутая молекула представляет собой замкнутую линию, такие линии образуют узлы, которые нельзя деформировать друг в друга без разрыва линии и последующего склеивания концов. Условие неразрывности линий обеспечено тем, что для создания разрыва необходимо разорвать химические связи в данной точке полимерной цепи.

Энергетические затраты такого процесса довольно значительны. Поэтому при достаточно низкой температуре вероятность разрывов мала и молекулы полимера могут существовать в состоянии с данной удельной конфигурацией практически неограниченно долго. В опрос, какая часть молекул обладает определенной удельной конфигурацией, решается на основе перечисления типов топологический различных узлов.

Существует целый класс веществ: обычные и жидкие кристаллы всех типов, ферро- и антиферромагнетики, сегнетоэлектрики, сверхпроводники и сверхтекучие жидкости, при изучении которых оказываются полезными топологическийе методы, причем теория приводит к ряду красивых, но пока еще экспериментально не обнаруженных следствий.

МОСТЫ КЁНИГСБЕРГА Можно сказать, что топология как наука началась в 1736 г. с работы Эйлера, который рассмотрел задачу о поиске пути, проходящего по семи мостам только один раз. Эйлер обозначил части города точками, а мосты - линиями и свел исходную задачу к задаче обхода графа.

многообразием Мы можем увидеть лишь небольшую окрестность точки, в которой находимся. Наша Вселенная «локально эквивалентна декартову трехмерному пространству». Пространство, локально сходное с декартовым, называется многообразием.

Многообразие также понимается как множество карт, собранных в атлас по определенным правилам, которые указывают, как перейти от одной карты к другой. Например, на картах различных участков Земли изображены двумерные многообразия.

тривиальными Чтобы изучить пути на поверхности многообразия, представим их с помощью петли из эластичной веревки. Петли, которые можно свернуть, т.е. притянуть к себе и стянуть в точку, называются тривиальными.

Любую петлю на сфере всегда можно стянуть в точку, в то время как на бублике существуют нетривиальные петли. Можно сказать, что отверстие возникает тогда, когда имеется петля, которую нельзя стянуть в точку, то есть отверстие это нетривиальная петля.

гомотопными Если две петли можно преобразовать одну в другую и наоборот, такие петли называются гомотопными (от греческого «гомо» «подобный» и «топос» «место»). Две гомотопные петли обвязывают одно и то же отверстие.

Представьте себе Вселенную, в которой расположены двое меж пространственных ворот, если мы войдем в P1 то выйдем из Р2, и наоборот. Путь, отмеченный сплошной линией, нетривиален. Путь, отмеченный пунктирной линией, также нетривиален.

Путешествие сквозь ручку подобно путешествию в другом измерении настоящая научная фантастика

тором Поверхность, которая в математике называется тором, представляет собой бублик. Тор (сферу с одной ручкой) можно получить из квадрата, отождествив стороны квадрата («склеив» точки параллельных отрезков)

Эта фигура тоже тор! Но, «развязать» этот тор в трехмерном пространстве нельзя.

Хирургия вдоль узлов Узлы и их свойства изучаются в теории узлов. Задача классификации узлов до сих пор не решена. Если немного «надуем» узел, получим полноторие геометрическое тело в форме бублика.

Внутренняя и внешняя топология внешними Будем называть внешними свойствами те, которыми обладает фигура, находящаяся в окружающем (трехмерном) пространстве. Два объекта имеют одинаковую внешнюю топологию, если от одного из них можно перейти к другому путем деформации внутри окружающей среды. Заузленный тор с точки зрения внешней топологии отличается от обычного.

Внутренняя Внутренняя топология, напротив, изучает топологическийе свойства, которыми обладает фигура сама по себе, эти свойства не зависят от того, как она вложена в трехмерное пространство. Обычный и заузленный тор с точки зрения внутренней топологии эквивалентны. Более того, фигура необязательно должна быть погружена в трехмерное пространство.

листом Мебиуса Если отождествить точки следующим образом, то из прямоугольника получим одностороннюю (неориентируемую) поверхность, которая называется листом Мебиуса

Лента Мёбиуса обладает несколькими любопытными свойствами: один крайУ этой ленты всего один край: если мы будем двигать палец вдоль края до тех пор, пока не вернемся к начальной точке, то пройдем вдоль всего края. одна сторонаУ нее всего одна сторона: если мы поставим палец на одну из ее сторон и будем двигать его вдоль нее, то вернемся в исходную точку, но уже с другой стороны.

Ориентируемость неориентируемой Поверхность является неориентируемой, если мы можем нарисовать на ней петлю, в которой стороны меняются местами. Можно совершить путешествие, после которого право и лево поменяются местами.

Разрежем ленту Мёбиуса вдоль экватора ножницами. У этой ленты будет два края и две стороны (проведите вдоль ленты пальцем). С точки зрения топологии эта поверхность - цилиндр.

Бутылка Клейна Бутылка Клейна неориентируемаяя поверхность без края. Клейн в 1882 г. назвал ее Flache, что в переводе означает «поверхность», переводчик спутал это слово со словом Flasche, что означает «бутылка». Бутылка Клейна строится на основе квадрата, стороны которого идентифицированы:

Бутылка Клейна содержит в себе ленту Мёбиуса (выделена серым цветом на рисунке).

Эту поверхность нельзя в точности назвать бутылкой Клейна, так как ее горлышко не должно пересекаться со стенкой. Впрочем, мы можем притвориться, что это самопересечение отсутствует. Построить бутылку Клейна в трехмерном пространстве невозможно, нужно выйти в четвертое измерение.

Как на плоскости закрепить веревку в двух точках, разделенных стеной, через которую нельзя перебраться? Можно приподнять веревку в третье измерение и соединить нужные точки без разрезов и пересечений.

проективная плоскость Существуют и другие неориентируемые поверхности. Одна из самых известных проективная плоскость. Рассмотрим многоугольник с двумя сторонами (!) и идентифицируем их так, как показывают стрелки.

У входа в Научно-исследовательский математический институт в Обервольфахе установлена модель проективной плоскости, построенная компанией «Мерседес-Бенц» в 1991 г. Она имеет самопересечения, так как неориентируемая.

Конечность и компактность Диск без края можно растянуть так, что он превратится в плоскость: для этого его сначала нужно будет выгнуть так, чтобы он принял форму полусферы, а затем построить проекцию этой полусферы из ее центра, и она заполнит всю плоскость:

компактной Чтобы избежать двусмысленности, связанной с понятием конечности, топологи ввели понятие компактности. Поверхность является компактной, если ее нельзя растянуть так, чтобы ее площадь стала бесконечной. К примеру, сфера и тор компактные поверхности.

Как много компактных поверхностей с точностью до гомеоморфизма? Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса негомеоморфны между собой.

Можно взять сферу с дырками и приклеивать листы Мебиуса.

В.Арнольд пишет: «Теорема о классификации поверхностей - математическое достижение высшего класса, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли сам факт математике или физике».

Задачи классификации позволяют сводить множества объектов к простым спискам и анализировать свойства исходных объектов. Некоторые задачи классификации неразрешимы, например задача о топологической классификации компактных четырехмерных многообразий.

Для классификации поверхностей нужны методы, позволяющие различить их. 1. Если S поверхность, проверить, является ли она ориентируемой. 2.Проверить, являются ли петли на S тривиальными. Число отверстий определяет фундаментальную группу S. 3. Характеристика Эйлера Пуанкаре.

арактеристика Эйлера Пуанкаре Обозначим через V число вершин, через А число ребер, через С число граней (многоугольников). Характеристика Эйлера Пуанкаре число V-A+C (обозначается буквой «хи»).

Связная сумма Связная сумма: рассмотрим две поверхности и удалим по диску с каждой из них. Теперь приклеим к ним ручку (цилиндр), соединяющую обе поверхности. Если мы рассмотрим g торов и определим связную сумму первого со вторым, второго с третьим и так далее, то получим поверхность рода g.

Эти многообразия можно представить себе как параллельные вселенные, соединенные межпространственными воротами.

Характеристика Эйлера Пуанкаре ориентируемых компактных поверхностей (без края): сфера 2; тор 0; связные суммы g торов 2-2g.

Фундаментальные многоугольники Найдем связную сумму двух торов, представленных в виде квадратов. Удалим из них два диска (касающихся вершины). Путем деформации получим два пятиугольника, которые следует склеить вдоль края дисков (С). Получим восьмиугольник, стороны которого идентифицированы.

Геометрия Геометрия («гео» «земля» и «метрия» «измерение») изучает свойства пространств в которых определены метрические характеристики: расстояния, размеры, углы. Концепция бесконечного пространства (евклидова) была принята с древних времен. Риман в 1854 году предположил, что Вселенная представляет собой 3-сферу. Результатом работ Гаусса, Бойяи и Лобачевского стало открытие гиперболической геометрии.

Теория Римана впоследствии сыграла важнейшую роль в развитии общей теории относительности Эйнштейна Первым, кто предложил проверить геометрию пространства практически, по всей видимости, был Николай Лобачевский, который попытался вычислить сумму углов звездного треугольника. Полученное значение кривизны было ненулевым, но слишком малым для того, чтобы можно было сделать выводы.

Постулат о параллельности прямых. Через точку Q, не лежащую на прямой r, можно провести одну и только одну прямую, параллельную r. Предполагалось, что прямые можно продолжать бесконечно и при этом все свойства, выполняющиеся в малом масштабе, будут верны и на больших расстояниях. Но эти предпосылки верны только в том случае, если пространство можно расширять бесконечно.

Геометрия изучает локальную форму пространств. Метрические свойства определяют форму небольшой окрестности точки. Топологические свойства, в отличие от метрических, определяют свойства пространства в целом (например, компактность или ориентируемость).

Сферическая геометрия Диск как модель сферы.

Любые пересекающиеся прямые пересекаются в двух точках. Соединим прямой точки Р и Q и отложим на этой прямой отрезок длиной d. Полученная точка Q будет антиподальной Q.

Прямая кратчайший путь между двумя точками. На поверхности сферы прямые всегда пересекаются, через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. геодезической Чтобы найти кратчайший путь между точками, можно соединить их нитью и натянуть ее. Отрезок, соединяющий точки Р и Q, определяется как часть кратчайшей кривой на поверхности, проходящей через обе эти точки. Такой отрезок называется геодезической.

Какими свойствами будут обладать углы треугольников на сфере? Их сумма будет больше 180°: a + b + y = 180° + k * Площадь, где k положительная постоянная. Чем больше k, тем больше сумма углов треугольника, тем больше «искривляются» прямые. Кривизной называется величина К =k п/180°.

Треугольники не могут иметь сколь угодно большие размеры: сумма углов треугольника не может быть больше 3 * 360° = 1080°, понятие подобия неприменимо. Кривизна К в разных точках может отличатся, может быть положительной или отрицательной, сумма углов треугольника больше 180° при положительной кривизне (К > 0) и меньше 180° при отрицательной (К < 0).

Геометрия на сфере называется сферической. Первым ее изучил Риман. Прямыми (геодезическими) являются большие круги сферы. Прямые неограниченны, но конечны: две прямые всегда пересекаются (в двух точках), нарушая постулат о параллельности. Кривизна положительна

Лучи света движутся вдоль геодезических. Любой объект, расположенный в антиподальной точке, будет виден во всех направлениях! Он словно растянется по всей области зрения. Евклидова плоскость имеет кривизну К = 0.

Внутренней геометрией называется совокупность всех геометрических понятий, которые можно рассмотреть, находясь «внутри» поверхности (например, измерение расстояний). Внешней геометрией называется совокупность всех геометрических понятий, которые могут изучить те, кто находится в окружающем пространстве и видят поверхность извне.

В чем разница между геометрией и топологией поверхности? Представьте поверхность из тонкой металлической сетки, разделенную на небольшие четырехугольники. Их стороны изготовлены из проволоки и соединены шарнирами.

жесткой Подвергнем поверхность деформации. Она не может изменить расстояние между шарнирами, так как это расстояние определяется длиной проволоки. Такая деформация называется жесткой. Геометрические (внутренние) свойства сохраняющиеся при жестких деформациях (расстояния, углы, форма геодезических). изометрическими Две поверхности называются изометрическими, если от одной из них можно перейти к другой посредством жесткой деформации.

Пусть на смену проволоке пришла эластичная нить. гомеоморфными Топологические свойства которые не меняются, когда мы растягиваем или сжимаем поверхность (ориентируемость или число отверстий). Две поверхности называются гомеоморфными, если от одной из них можно перейти к другой посредством эластичной деформации.

Кривизна Из любой точки Р можно провести два направления (они называются главными) на поверхности, для которых кривизна в этих направлениях будет принимать наибольшее и наименьшее значения k1, k2:

Когда мы совершаем поворот, на нас действует центробежная сила, обратно пропорциональная радиусу кривизны кривой, по которой мы движемся, при строительстве автодорог наружную часть поворота обычно делают выше внутренней, чтобы автомобили не вылетали с дороги.

Произведение k1 и k2 называется кривизной Гаусса: K = k1k2. К относится к внутренней геометрии, она не изменяется в результате жестких деформаций. Поверхности с К> О, К = 0 и К< 0 соответственно:

Разными оттенками выделены области с положительной и отрицательной кривизной, разделенные линией, образованной точками с нулевой кривизной.

Однородность: если Р и Q две точки поверхности, то существуют две окрестности U и V соответственно, для которых существует изометрия h: U > V, h(P) = Q. Изотропия (от греческого «изо-» «равный» и «-тропия» «поворот»): если u и v два направления из точки Р, то существует окрестность U и изометрия h такие, что h: U > U, h(P) = Р, h(u) = v.

Многообразие однородно, если две произвольные его точки Р и Q имеют изометрические (геометрически эквивалентные) окрестности. Многообразие изотропно, если для любой точки мы можем определить изометрию ее окрестности такую, что она переводит направление u в направление v, выбранное произвольно. Любую геометрическую фигуру можно повернуть из точки Р так, что она будет видна в любом направлении, а ее геометрические свойства останутся неизменными. Сферическая геометрия однородна и изотропна.

Гиперболическая геометрия При K = 0 - евклидова плоскость, при K > 0 сфера. Что при K < 0? Диск Пуанкаре. Геодезическими линиями являются диаметры диска и дуги окружности, перпендикулярные краю диска.

В гиперболической геометрии через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное множество прямых, параллельных данной, то есть не пересекающих ее. В треугольнике а + b + y 180° = Площадь * К 180°/п кривизна К < 0. Сумма углов треугольника ABC меньше 180°.

Площадь треугольника не может быть сколь угодно велика, так как сумма углов больше 0°. Расстояния на диске Пуанкаре сильно искажены. Области вблизи края намного больше, чем кажется на глаз, расстояние от центра диска до края бесконечно велико.

Диск Пуанкаре бесконечно велик, и достичь его края невозможно. Замощение диска Пуанкаре гиперболическими равносторонними треугольниками равного размера.

Топология и геометрия в трех измерениях Трехмерное многообразие это пространство, в любой точке которого мы, оглянувшись вокруг, не сможем отличить его от трехмерного пространства, т.е. окрестность точки гомеоморфна (имеет ту же форму) окрестности в трехмерном пространстве.

Точка, окрестность которой гомеоморфна шару в трехмерном пространстве, называется гладкой. Точки, которые не являются гладкими, называются особыми.

Если мы хотим узнать, какую форму имеет Вселенная, следует понять, как выглядят трехмерные пространства, то есть провести их классификацию. Математики до сих пор не располагают полной классификацией трехмерных многообразий. Задача о том, как отличить простейшее трехмерное многообразие трехмерную сферу от остальных, лежит в основе одной из самых известных гипотез в геометрии и топологии гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона. Сто лет назад в Париже состоялся II Международный математический Конгресс, на котором выступил Д. Гильберт, который в то время с А. Пуанкаре делил славу одного из первых математиков мира. Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые во многом определили развитие математики XX века.

В. Арнольд по поручению Международного математического союза обратился с предложением сформулировать проблемы следующего столетия, обсуждение состоялось 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Было выделено 7 проблем: гипотезы Римана, Пуанкаре и др. В 2002 году Г. Перельман поместил на сайте препринт, где анонсировал решение гипотезы Пуанкаре и более общей геометрической гипотезы Терстона.

В двумерном случае есть три стандартные геометрии: геометрия стандартной сферы (постоянной положительной гауссовой кривизны), евклидовой плоскости (нулевой гауссовой кривизны), плоскости Лобачевского (постоянной отрицательной гауссовой кривизны).

В двумерном случае метрика постоянной положительной кривизны задается на сфере и проективной плоскости, геометрия евклидовой плоскости задается на торе и бутылке Клейна, геометрия плоскости Лобачевского задается на всех остальных компактных двумерных поверхностях.

В трехмерном случае всего 8 стандартных геометрий, которые 1)в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным; 2)задаются на односвязном многообразии; 3) для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается. Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки.

Это односвязные многообразия постоянной кривизны, называемые формами пространства. Прочие изотропные трехмерные многообразия определяются на их основе. 3-сфера.

Гиперболическое пространство. Его моделью является шар с искаженной метрикой, определяемой так, что расстояние до края шара бесконечно велико. Плоскости в этом пространстве - диски, проходящие через центр шара (гиперболические плоскости), либо части сферы, перпендикулярные краю шара.

Имеют эллиптическую (гиперболическую) геометрию в двух первых направлениях и евклидову в третьем. геометрии трех остальных пространств описываются намного сложнее и носят названия SL2 (R), Nil и Sol. Первые две - скрученные разновидности E2x R, Н2 х R, где Е2 евклидова плоскость. Последняя геометрия, Sol, требует отдельного описания.

Гипотеза Пуанкаре: любое компактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля стягивается в точку) гомеоморфно трехмерной сфере. Геометрическая гипотеза Терстона: неприводимое трехмерное замкнутое трехмерное многообразие разрезается на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий. Из верности геометрической гипотезы Терстона следует гипотеза Пуанкаре.

Многомерный аналог гипотезы Пуанкаре для n>4 доказан еще в 1960 году С. Смейлом. В 1982 году для размерности 4 это доказано М. Фридманом. За свои результаты они получили Филдсовские премии. Именно доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы Терстона предложил Г. Перельман.

За это на Международном математическом конгрессе в Мадриде в 2006 году ему была присуждена Филдсовская премия - самая престижная награда в мире математики, однако Перельман отказался ее принимать. 18 марта 2010 года Институт Клэя наградил ученого премией в один миллион долларов за решение задачи тысячелетия, но он не принял и эту награду.

Теория относительности, с математической точки зрения, базируется на геометрии искривленных пространств. В теории относительности Эйнштейна физическое пространство представляет собой многообразие, и его форма определяется его геометрией (метрикой), пространство и время рассматриваются как одно четырехмерное многообразие с координатами х, у, z, t, где х, у, z пространственные координаты, а t временная. В теории относительности, в отличие от механики Ньютона, тяготение понимается не как сила, а как геометрическая характеристика пространства-времени, то есть как кривизна.

Связь тяготения и кривизны описывают уравнения гравитационного поля, они указывают, что масса в пространстве (то есть источник поля тяготения) вызывает искривление самого пространства. Тяготение это проявление кривизны пространства-времени, вызванной массивным телом.

Прямые - геодезические, траектории движущихся тел, на которые не действуют никакие сторонние силы. Планеты, вращающиеся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, движутся по геодезическим. Вдоль геодезических движется и свет. Геодезические следует изображать в пространстве-времени, они зависят как от места, так и от времени, их форма определяется скоростью движения тела. Луч света возле массивного тела искривляется (следует вдоль геодезической), видимое положение звезды смещено относительно реального.

Уравнение Эйнштейна связывает метрику (характеристику геометрии пространства «времени); кривизну, тензор Риччи; скорость света; гравитационную постоянную, тензор энергии-импульса материи, описывающий массы в космосе и их эффект, и космологическую постоянную. В 1922 году математик и метеоролог Фридман описал модель расширяющейся Вселенной.

Галактики удаляются друг от друга со скоростью, пропорциональной расстоянию между ними. Скорость расширения Вселенной получила название постоянной Хаббла. Согласно результатам, полученным с помощью телескопа «Хаббл» в 2011 году, каждый миллиард лет Вселенная увеличивается в размере на 7,55 %. Эйнштейн и другие физики полагали, что односвязность Вселенной само собой разумеется, и на основе этого сделали выводы:

если Ko > 0, то Вселенная представляет собой 3-сферу; если Ko = 0, то Вселенная представляет собой евклидово пространство; если Ko<0, то Вселенная представляет собой гиперболическое пространство. Если Вселенная имеет гиперболическую геометрию, то небесные тела кажутся ближе друг к другу, чем на самом деле. И напротив, во Вселенной с эллиптической геометрией нам кажется, что небесные тела расположены дальше друг от друга, чем на самом деле.

Лучи света, излучаемые далекими звездами во Вселенной с гиперболической геометрией (слева) и во Вселенной с эллиптической геометрией (справа). Реальное (вверху) и кажущееся (внизу) положение двух звезд.

Большой взрыв - пространственно-временная сингулярность, точка, в которой пространство- время не является многообразием, кривизна черной дыры столь высока, что геодезические не выходят за ее пределы. Червоточина - гипотетическая топологическая характеристика пространства-времени, позволяющая совершать путешествия в пространстве и во времени.

Важность топологическийх методов для теории поля и теории относительности, физики сплошных сред и низких температур, квантовой теории и др. уже не вызывает сомнений. Менее широко известны приложения в ядерной физике и физике элементарных частиц, которые связаны, в частности, с геометрической интерпретацией встречающихся нелинейных уравнений. Существуют разные способы отождествления геодезических многообразий с траекториями динамических систем

Спасибо за внимание