КРАТЧАЙШИЙ ПУТЬ К ИСТИНЕ ОБЫЧНО НАХОДЯТ ПОСЛЕ ЕЕ ОБНАРУЖЕНИЯ ДОЛГИМ И ТРУДНЫМ ОКОЛЬНЫМ ПУТЕМ. (ИЗ НАУЧНОЙ КЛАССИКИ ).

Этот текст был написан для преподавателей. Но ты – самое заинтересованное лицо, и можешь принять самое активное участие в процессе собственного обучения. Никого ничему научить нельзя, каждый всему может научиться только сам. Учитель может только помочь. И его задача, как уже сказано, не заполнить сосуд, а зажечь факел. Невзирая на то, как тебя учили, попробуй выполнить приводимые рекомендации, и заново пройди курс математики, не гоняясь за полнотой, а выделяя ключевые моменты. А потом применяй этот опыт в изучении остальных наук.

Поставим цель сформировать АП для основ математического анализа, памятуя результаты теста и ориентируясь на них. Ключевые понятия: тангенс, производная, определенный интеграл, неопределенный интеграл, теорема Ньютона-Лейбница.

Но оно не усвоено. Путают с синусом, другими функциями; путают катеты – противолежащий с прилежащим. И даже зная определение, не чувствуют его смысла. Тогда опорой для дальнейшего обучения это понятие быть не может. Важнейшее связующее звено между элементарной и высшей математикой – тангенс. На нем, по сути, держится все дифференциальное исчисление.

Значит, изучение тригонометрии было скучным. Главные усилия направлялись на трудоемкие преобразования, решение уравнений. Удивительно ли, что забыто одно из многих определений? Нужны эмоции. Подчеркнуть: это самая употребительная из тригонометрических функций, это мера крутизны, отношение подъема к продвижению вперед, высоты ступеньки к ее длине. Дать установку на запоминание навсегда.

Существует магия слов. Они эмоционально окрашены, и влияют на наше отношение к вещам. Удачное название – ключ к пониманию, неудачное – отпугивает, уводит в сторону. Название должно что-то говорить об обозначаемой сущности. Термин производная неудачен. Достаточно произнести его, и у многих скучнеют глаза. Здесь – всего лишь некая функция, как-то произведенная от другой функции. Как в химии: вещество В, производное от вещества А.

Ведь на самом деле производная – понятие, необходимое и известное – под другими названиями – каждому, независимо от профессии и уровня образования. Недаром у него много синонимов: скорость, крутизна, мера влияния, цена …. И на житейском уровне им владеют все, даже не слыхав этого слова. Такому обессмысливанию нужно противостоять. Термин нужно приручить. А для этого, вводя логическое понятие, опираться на знание, уже существующее на неосознанном уровне. Как мольеровский Журден 40 лет говорил прозой, не подозревая об этом.

В основных понятиях анализа содержится два слоя информации: 1 – общее для линейных и нелинейных зависимостей, 2 – то, чем они различаются. Учебный курс математики полагает, что из раздела Аналитическая геометрия уже известно все необходимое о линейных функциях, и можно сразу сосредоточиться на понятиях предела и дифференциала. На самом же деле, когда начинающий видит касательную к кривой, у него вовсе не срабатывает рефлекс на свойства прямой линии.

В первую очередь нужен акцент на том, что производная – мера крутизны, во вторую очередь – отношение приращений функции и аргумента (высоты подъема к движению вперед), и лишь в третью очередь – предел этого отношения при стремлении приращений к нулю. Только в таком порядке и можно его вводить. Но совсем иную расстановку акцентов задает сложившаяся традиция. А когда доказательства ведут на ужасно строгом уровне, не опускаясь до геометрического примитива, то и достигается полное обессмысливание понятия – для учащегося оно никак не соотносится с реальностью.

Выучив слова предел отношения приращений…, он попадает в тупик при виде графика линейной зависимости. Он не понимает, что эта задача – проще, что не нужен никакой предел, и не знает, где искать эти приращения. И это – первая сизифова горка из нашей серии. Впрочем, и она имеет предысторию – см. выше о тангенсе. Стоит ли удивляться результату того самого теста? Он запрограммирован изначально!

Мнемоничность и усвояемость намного возрастают, если все возможное давать только на 1-м уровне, и лишь после его усвоения переходить ко 2-му. Пределы и дифференциалы – вводить лишь после того, как учащиеся свободно и осознанно решают задачи типа упомянутого теста. (Не накладывай трудность на трудность. На первых порах давай только самое необходимое).

А заодно повторить и сведения о тригонометрии, опять- таки только самые необходимые, а именно – что такое тангенс. И тоже не формально, а по существу (см. выше). При таком повторении главное свойство линейной функции – постоянство значения производной во всем диапазоне изменений аргумента. И оно теперь известно изначально, еще до вывода правил дифференцирования, с того самого момента, как введено понятие производной. Ввести понятие производной для линейной функции – по сути то же, что повторить аналитическую геометрию прямой. Но повторить не все подряд, а только непосредственно нужную деталь – угловой коэффициент. И под новым углом зрения – по диалектической спирали. И в нужный момент. Такое повторение – мать, а не мачеха.

И тогда оказывается, что и тангенс, и угловой коэффициент, и производная – все это одно и то же. Просто для них придуманы другие названия, и остается объяснить, для чего это сделано. А именно: тангенс есть принадлежность угла, а угловой коэффициент – принадлежность прямой. Но того и другого недостаточно для функций, у которых по ходу графика меняется крутизна, и приходится ввести новое понятие – производную. Такое повторение и есть приручение термина. Пока мы остаемся среди линейных функций, он нам не нужен. Но мы вводим его уже сейчас, предупредив, что он понадобится в дальнейшем. Его нужно прочно связать с предыдущим, а для этого освежить и известное, но давно забытое.

В традиционном изложении дальше следуют: вывод правил дифференцирования, следствия и приложения производной, неопределенный интеграл, как действие обратное дифференцированию, вывод формул и многочисленных правил интегрирования, определенный интеграл и его практические приложения, функции нескольких переменных. Эта схема не способствует ни осмыслению идейного содержания, ни освоению техники изучаемых процедур. Почему?

(1) Подробное изложение техники после каждого элемента разрывает связь между идейным содержанием разных элементов (за деревьями не видно леса). (2) Техника дифференцирования сложных функций на самом деле использует идеи функций нескольких переменных, включая понятие частной производной, но о них еще ничего не сказано, и выполняемые действия противоречат тому, что о них говорится. Если те же идеи использовать, ясно о них сказав, то и техника дифференцирования, и вывод формул для нее, поддаются существенной рационализации.

(3) Цель интегрирования и его идейное содержание лучше всего раскрываются при интерпретации интеграла, как площади. Интеграл же, как действие, обратное дифференцированию – сугубо подчиненный, служебный вариант. Он нужен для отработки техники, и идет не от приложений, а изнутри самой математики. На протяжении длительного этапа от студента скрыты смысл и назначение производимых им действий, да и самого термина "интеграл". (4) Вопросы техники дифференцирования и интегрирования взаимосвязаны, и их изучение облегчается и требует меньше времени, если осуществляется с минимальным временным разрывом.

Поэтому изменим схему, и после производной для линейных функций введем: определенный интеграл, тоже для простейшего частного случая – постоянной величины (чтобы с самого начала понять связь обоих понятий, ни на минуту не отходя от практической нацеленности), понятие о функциях нескольких переменных и о частных производных, элементарное знакомство с методом структурных схем (будет рассмотрен отдельно), обобщение понятий производной и интеграла на случай нелинейных зависимостей, освоение техники дифференцирования и интегрирования (лишь после всего предыдущего).

В отличие от производной, название интеграл вполне содержательно. В переводе – сумма. Употребляется даже в переносном смысле. Но его связь с самим понятием пока не раскрываем, она станет ясна лишь с переходом к общему случаю. Определенный интеграл в пределах от a до b определим, как площадь, заключенную между осью абсцисс, графиком функции и вертикальными отрезками с абсциссами a и b, соединяющими график с осью (a и b – нижний и верхний пределы интегрирования). Для частного случая функции – положительной постоянной величины y=k>0, график – горизонтальная линия, расположенная на расстоянии k выше оси абсцисс. Для нее определенный интеграл вычисляется элементарно, как площадь прямоугольника: (Временно будем пользоваться этим не общепринятым обозначением интеграла). Заметим, что определенный интеграл с постоянными пределами есть не функция, а число.

Интеграл с переменным верхним пределом есть функция того же аргумента, ее график в нашем случае – прямая линия с угловым коэффициентом k, пересекающая ось абсцисс в точке x = a. Мы уже видели, что производная такой функции равна угловому коэффициенту прямой, а он равен k – ординате исходного горизонтального графика. А значит, интегрирование – не только вычисление площади, но и действие, обратное дифференцированию. Отсюда еще одно название для полученного графика: это первообразная – та функция, для которой интегрируемая функция есть производная. Подчеркну: чрезвычайно важно, что взаимная обратность операций дифференцирования и интегрирования здесь не постулируется, а выводится. Немотивированных определений нужно всячески избегать! Далее. Исходная линия есть график производной не только для полученной прямой, но и для любой другой, параллельной ей. Эти другие прямые можно получать, меняя положение левой границы (подчеркну: не двигая непрерывно, как двигаем правую, а фиксируя ее по желанию в разных точках оси абсцисс). И сразу же видим, что входящая в формулу для S константа C произвольна – ей можно придавать разные значения. Поэтому семейство первообразных называют еще и неопределенным интегралом. Отсюда ясно и происхождение названия "определенный интеграл": оно понадобилось для различения этих двух понятий. Обозначим теперь верхний предел через x и сделаем его переменным - будем непрерывно двигать его вправо:

Определенный интеграл с переменным верхним пределом Неопределенный интеграл a1a1 a2a2 a3a3 x x

Определенный интеграл можно вычислить через посредство неопределенного. Для нашего частного случая этот способ не нужен – проще вычислить площадь прямоугольника. Но для общего случая он потребуется, а показать его механизм удобнее на прозрачном примере. Задача интегрирования – определять площадь фигур под графиками сложной формы. А горизонтальную прямую именно потому и выбрали для начала, что площадь прямоугольника умеют определять все.

Выберем для нашей первообразной некую точку отсчета x 0 (например, x 0 =0), не совпадающую ни с одной границей. В таком совпадении не было бы ничего противозаконного, но лучше не создавать впечатление, что оно для чего-нибудь нужно. или проще: Это и есть знаменитая формула Ньютона - Лейбница, выведенная пока только для линейных функций. Чрезвычайно важно понять: все, что на верхнем графике изображается площадями, на нижнем графике изображается ординатами или их разностями. И обратно, все, что на нижнем графике изображено отрезками ординат, на верхнем изображается площадями. Построив ее график, отметим на нем точки для заданных нижнего (левого) и верхнего (правого) пределов. Проведем через них горизонтальные засечки, и покажем расстояние между ними с помощью вертикального отрезка. В каждой из этих двух точек график изображает площадь, отсчитанную от x 0 до соответствующего предела. А значит, вертикальный отрезок между засечками равен искомой площади фигуры. Численно – это разность значений первообразной на границах интервала. Отсюда сразу получаем формулу для вычисления определенного интеграла:

Формула Ньютона- Лейбница Геометрический смысл теоремы Ньютона-Лейбница x

Уместное отступление. По свидетельству Л.Д.Кудрявцева, А.Я.Хинчин, изложив студентам теорему Ньютона-Лейбница, отпускал их со второго часа занятий, чтобы столь значимый материал не заслонялся чем-то менее существенным. Я здесь вижу не только педагогический такт, но и неудовлетворенность выдающегося методиста формой изложения. Я тоже ощущал ее еще со студенческих лет, относя на счет собственного непонимания. Но знакомство с эпизодом о Хинчине побудило через много лет додумать до конца, и истина открылась в следующем виде.

Здесь налицо противоречие между научной логикой и дидактической задачей. Главные открытия Ньютона и Лейбница – понятия дифференциала, предела и интегральной суммы – совершенно не нужны для понимания смысла их формулы, более того – именно они отвлекают мысль в сторону от понимания сути.

Главное в том, что при подстановке обоих пределов интегрирования используют одну и ту же первообразную, а переход к любой другой означает вертикальное перемещение треугольника, при котором его катет (значение интеграла) остается самим собой. В самом деле: как мы только что видели, для простейшего случая формула Н-Л выводится элементарно, с наглядной демонстрацией на прямолинейных первообразных.

Обычно об этом говорят вскользь или даже не говорят вообще – ведь оно само собой разумеется. Но именно такое его "проглатывание" и затрудняет начинающих!

Понятия предела, дифференциала, интегральной суммы нужны не для вывода формулы Ньютона-Лейбница, а для ее обобщения на нелинейные зависимости. Для простейшего частного случая, не осложненного этими понятиями, геометрический смысл теоремы прост и прозрачен. Переход же к общему случаю составляет предмет совершенно другой задачи, решаемой иными средствами. Разделение этих двух задач резко облегчает обе.

Итак, мы применили два средства для успешности формирования активного пятна по основам математического анализа: 2) оптимизация способа введения интегрального исчисления (использована в книге Я.Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих»). 1) выделение в отдельный раздел начал анализа для линейных функций и введение основных понятий на базе простейших примеров,

Сравним два пути введения интегрального исчисления: 1) Общепринятый – как действие, обратное дифференцированию (неопределенный интеграл). Это – типичное немотивированное определение. Студент длительное время выполняет трудоемкую работу, не зная ее практического смысла. 2) Альтернативный – исходя из идейного содержания понятия интеграла и его целевого назначения – как способ определения площадей (определенный интеграл), с последующим выяснением обратности интегрирования дифференцированию – поводом удивиться, испытать эмоции. Трудоемкость процедур при переходе к неопределенному интегралу – оправдывается их практической ценностью.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом Неопределенный интеграл Определенный интеграл a1a1 a2a2 a3a3 x x ПРАВОПОЛУШАРНЫЙ ВАРИАНТ: обратность интегрирования дифференцированию не постулировать, а выводить из свойств определенного интеграла.

Ариаднина нить для формирования активного пятна для основ математического анализа 2 2) производная 3 3) определенный интеграл 4 4) определенный интеграл – функция верхнего предела 5 a1a1 a2a2 a3a3 x x 5) неопределенный интеграл 6 6) Формула Ньютона- Лейбница 1 1)тангенс a b b/a=tg Вот и все, что требуется запомнить навсегда!

Как сказано в книге «физики шутят», если что-то можно понять с точностью до наоборот, это обязательно будет сделано (цитата не дословная). Мое опасение состоит в том, что мне будет приписана мысль, что знаниями, относящимися к активному пятну, исчерпывается вся потребная информация. Необходимое замечание. Отнюдь! Это лишь трамплин для всего остального, о чем говорить здесь нет необходимости.

Предложения по кардинальному усовершенствованию учебного процесса в технических вузах 1. Для формирования полноценного активного ядра математических знаний Выделение в отдельный раздел основ анализа для линейных функций и формирование на его основе активного ядра с установкой на запоминание навсегда, вплоть до теоремы и формулы Ньютона-Лейбница в адаптированном к этому случаю варианте Одновременное введение понятий производной и интеграла в их взаимной связи. Для улучшения выживаемости математических знаний и обеспечения междисциплинарной преемственности предлагается осуществить корректировку содержания и методики курса математики для инженеров на основе следующих принципов Введение вначале определенного интеграла, с последующим переходом к неопределенному, как подчиненному вычислительному средству Обратность дифференцирования и интегрирования не постулировать, а выводить из свойств определенного интеграла.

Изучение техники дифференцирования и интегрирования осущес- твлять после введения идейной стороны обоих понятий, например в последовательности книги Я.Б. Зельдовича "Высшая математика для начинающих" Правила дифференцирования изучать после освоения (вначале для линейного случая) метода структурных схем и на его основе Изложение теории пределов и обобщение на ее основе операций дифференцирования и интегрирования на функции произвольного вида осуществлять после их освоения для линейного случая. 2. О методе структурных схем (МСС) 2.1. Констатировать, что техника ДСНФ поддается кардинальному усо- вершенствованию при использовании в ней метода структурных схем Прикладное значение ДСНФ намного больше, чем принято считать МСС неизвестен большинству из тех, кому он жизненно необходим Назрела необходимость включить МСС в состав базового математи- ческого образования, и это осуществимо без затрат дополнительного времени в сочетании с корректировкой последовательности изложения математического анализа согласно разделу 1 настоящих предложений.