Тема 2 РЕЗУЛЬТАТЫ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ Лекция 4 СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ: 1. Обнаружение и исключение систематических погрешностей. 2. Компенсация систематической погрешности в процессе измерения. 3. Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов и погрешностей.

ЛИТЕРАТУРА: 1. Стандартизация, метрология и сертификация, И.М. Лифиц, М., ЮРАЙТ, c

Поверкой называют определение метрологическим органом погрешностей средства измерения и установление пригодности средства измерения к применению. Поверка производится путем сравнения показаний поверяемого прибора с показаниями более точного (образцового) средства измерения. Если на поверяемой отметке шкалы показания поверяемого прибора хпов, а образцового хобр, то погрешность поверяемого прибора на этой отметке хпов = хпов хобр (1)хпов = хпов хобр (1)

Поверка средств измерения производится в соответствии с требованиями, устанавливаемыми в нормативно-технической документации, а ее результаты указываются в свидетельстве о поверке или в паспорте прибора. Обнаруженные таким образом систематические погрешности исключаются из результата измерения путем введения поправки. Из (1) следует, что истинное значение величины (хобр) равно хобр = хпов хпов, т.е. поправка (хпов) представляет собой погрешность, взятую с противоположным знаком.

Если известно, что при измерении постоянной величины х 0 (из физических соображений, например) систематическая погрешность изменяется линейно во времени, т.е. хизм = х 0 + Ct (где С = const), то для ее исключения достаточно сделать два наблюдения х 1 и х 2 с фиксацией времени t1 и t2 (рис. 1). Тогда искомое значение величины будет (2 )

Рис. 1. Линейное изменение систематической погрешности х х 2 х 2 х 1 х 1 х t1t1 t1t1 t

Однако предполагая, что изменение систематической погрешности происходит по линейному закону, не всегда можно быть полностью уверенным, что это именно так. В этом случае для контроля систематической погрешности применяют метод симметричных наблюдений. Несколько наблюдений выполняют через равные промежутки времени и затем вычисляют средние арифметические симметрично расположенных отсчетов (рис. 2), например и.

Рис Метод симметричных наблюдений

Рис Измерение напряжения источника вольтметром

Теоретически, при линейной зависимости погрешности от времени, эти средние арифметические должны быть равны это и дает возможность контролировать ход изменения погрешности. Убедившись, что погрешность изменяется по линейному закону, по формуле (2) находят результат измерения. Систематические составляющие, обусловленные несовершенством методов измерения, ограниченной точностью расчетных формул положенных в основу измерений влиянием средств измерений на объект свойства которого измеряются, относятся к методическим погрешностям. Единых рекомендации по обнаружению и оцениванию методических составляющих систематической погрешности нет. Поэтому, задача решается в каждом конкретном случае индивидуально, на основе анализа примененного метода измерений, результаты которого часто зависят от квалификации и опыта экспериментатора.

Пример. Оценим систематическую погрешность измерения напряжения Ux источника, обусловленную наличием внутреннего сопротивления вольтметра (рис. 3). Внутреннее сопротивление источника напряжения Ri = 50 Ом; сопротивление вольтметра RV = 5 к Ом показание вольтметра Uизм = 12,2 В. Здесь и относительная систематическая погрешность, определяемая как составит 0,99%. Это достаточно ощутимая погрешность, и ее следует учесть введением поправки. Поправка равна погрешности, взятой с обратным знаком или в единицах измеряемой величины = 0, ,2 = + 1,2 В. = 0, ,2 = + 1,2 В. Таким образом, напряжение источника будет 12,2 + 1,2 = 13,4 В.

2. КОМПЕНСАЦИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ В ПРОЦЕССЕ ИЗМЕРЕНИЯ В практике измерений применяется несколько методов, позволяющих за счет некоторого усложнения процедуры измерений получить результат измерения свободным от систематической погрешности. К ним относятся метод замещения, метод противопоставления и метод компенсации погрешности по знаку. Метод замещения. Этот метод дает наиболее полное решение задачи компенсации постоянной систематической погрешности и представляет собой разновидность метода сравнения. Сравнение производится путем замены измеряемой величины известной величиной и так, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при воздействии измеряемой величины.

Рис. 1.1 Методы сравнения а б в

Пример. Взвешивание на пружинных весах, у которых имеется постоянная систематическая погрешность (из-за смещения шкалы, например). Взвешивание производится в два приема (см. рис. 1.1, в). Вначале на чашу весов помещают взвешиваемое тело массой их и отмечают положение указателя (на отметке N). Затем взвешиваемое тело замещают гирями такой массы ту, чтобы вновь добиться прежнего отклонения указателя N. Очевидно, что при одинаковости отклонении указателя их = т 0 и систематическая погрешность весов не скажется на результате взвешивания.

Метод противопоставления. Рассмотрим данный метод на следующем примере. Взвешивание на рычажных равноплечих весах (см. рис.1.1, а). Условие равновесия весов их l1 = т 0 l2, отсюда. Если длины плеч l1, l2 одинаковы, то их = т 0. Если же их т 0 (из-за технологического разброса длин плеч при их изготовлении, например), то при взвешивании каждый раз возникает систематическая погрешность. Для исключения этой погрешности взвешивание производится в два этапа. Сначала взвешивают груз тк, уравновешивая весы гирями массой m01 гирь. При этом их l1 = т 01 l2. Затем взвешиваемый груз перемещают на ту чашу весов, где прежде были гири и вновь уравновешивают весы массой т 02 гирь. Теперь получим т 02 l1 = их l2. Исключив из равенств отношение l2 / l1, найдем. Как видно из формулы, длины плеч не входят в окончательный результат взвешивания.

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод также предусматривает проведение измерения в два этапа, выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знаками. За результат измерения принимают полусумму показаний систематические погрешности при этом взаимно компенсируются.

Суммирование систематических погрешностей. Независимо от того, к какому виду относится измерение, является ли оно прямым, косвенным, совместным или совокупным, систематическая погрешность результата измерения оценивается, как правило, по ее известным составляющим. Поскольку в каждом конкретном случае каждая систематическая состав­ляющая получает конкретную реализацию (она либо постоянная, либо известен закон ее изменения), то результирующая, суммарная система­тическая погрешность представляет собой алгебраическую сумму со­ставляющих:. ( 3 )

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма закон распределения плотности вероятностей случайной величины. Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено п последовательных наблюдений одной и той же величины х и получена группа наблюдений х 1, х 2, х 3,..., хn. Каждое из значений хi содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от xтin до xтаx и найдем размах ряда L = xтаx xтin. Разделив размах ряда на k равных интервалов L = L/k, подсчитаем количество наблюдений nk, попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат относительную частоту попаданий nk/k. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой nk/п, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдения в данном опыте.

0,1 0,2 0,36 0,22 0,12 L l 0,4 n k /п 0,3 0,2 0,1 x Рис Гистограмма

Оценка результата измерения. Задача состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным путем результатам наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины результат измерения. Будем полагать, что систематические погрешности в результатах наблюдений отсутствуют или исключены. К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку.

Рис. 7. Кривые нормального распределения

Нормальное распределение. Нормальное распределение плотности вероятности (рис. 7) характерно тем, что, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, такое распределение имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями. Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному.

В аналитической форме нормальный закон распределения выражается формулой, ( 6 ) где х случайная величина; их математическое ожидание случайной величины; среднее квадратическое отклонение.