Здесь ведь как с дыркой от бублика. Скажем ли мы: "внутри нет ничего", или будем утверждать: "есть дырка", - все это сплошные абстракции, и вкус бублика от них не изменится.

В Толковом словаре русского языка В С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой дается такое определение: цели в нужном для нас смысле: Цель - 2. Предмет стремления, то, что надо, желательно осуществить. Во всемирной Интернет - энциклопедии ( Википедия) этот термин определяется так: Цель: желаемый результат (предмет стремления); то, что хочется осуществить. чётко описанное желательное состояние, которого необходимо достигнуть. предвосхищаемый в сознании результат деятельности. Это определение практически совпадает с определением Ожегова. В Большом бухгалтерском словаре, имеется следующее определение: Цель: 1. предмет стремления, то что надо осуществить; задача, которую необходимо решить; 2. характеристика поведения системы, направленного на достижение определенного конечного состояния. Обычно формальным выражением Ц. является целевая функция системы. Поведение системы часто удобно описывать в терминах Ц. и средств ее достижения.

Целевая функция Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми переменными в задаче оптимизации. В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Цель – найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума. Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило решения, которое минимизирует или максимизирует целевую функцию. Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие R n и заданные набором равенств и неравенств.

Постановка задачи оптимизации. Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать: 1 Допустимое множество множество X={x g i (x ) 0, i=1,…,m}; 2 Целевую функцию отображение f:X R; 3 Критерий поиска (max или min). Тогда решить задачу f(x) min (x X) означает одно из: 1 - Показать, что X=. 2 - Показать, что целевая функция f(x ) не ограничена. 3 - Найти x * X:f(x *)=min f(x ) (x X). 4 - Если x *, то найти inf f(x ). Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x 0 таких, что всюду в некоторой их окрестности f(x) f(x 0 ) для минимума и f(x) f(x 0 ) для максимума. Если допустимое множество X=R n, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае задачей условной оптимизации.

Полезность блага или товара есть способность его удовлетворять какой-нибудь человеческой потребности. Полезность блага тем выше, чем большему числу потребителей оно служит, чем настоятельнее и распространеннее эти потребности и чем лучше и полнее оно их удовлетворяет. Полезность является необходимым условием для того, чтобы какой-нибудь предмет приобрел меновую ценность. Некоторые экономисты пытались даже построить на Полезности теорию меновой ценности (см. Ценность). Ценность значимость (польза, полезность) некоторого множества объектов для множества живых существ. Употребляется в нескольких смыслах: «Ценность» как название предмета, обозначающее признание его значимости. Разделяют «Материальные ценности» и «Духовные ценности». Известно понятие «Вечные ценности». «Ценность» в экономике используется как синоним понятию «потребительная стоимость», т.е. значимость, полезность предмета для потребителя.

Функция полезности экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага U/ Ci называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Терминология в алгебраических системах и моделях Алгебраической системой (или просто системой) называется объект A=, состоящий из трех множеств: непустого множества A, множества операций F = {F 0, …,F,…} и множества предикатов P = {P 0,…,P,…}, заданных на множестве A. Множество A называется носителем или основным множеством системы A. В отличие от других операций и предикатов, которые могут быть определены на множестве A, операции F i и предикаты P j называются основными или главными. Значения главных нульарных операций системы называются главными или выделенными элементами этой системы. Объединяя множества, F и P системы A и полагая =, F P, мы можем записать систему A более кратко: A=. Очень часто множество называют сигнатурой. Алгебраическая система A= называется алгеброй, если P =, и моделью или реляционной системой, если F =.

n-арная операция на A - это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество A n A. По определению, 0-арная операция это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин операция как правило применяется к арифметическим или логическим операциям, в отличие от термина оператор, который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя, имеющим замечательные свойства

Предикат (n-местный, или n-арный) это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный», либо как «ложный». Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. Высказыванием называется утверждение, о котором совершенно точно можно сказать, истинно оно или ложно. Если использовать термин "высказывание", то можно дать другое определение термину "предикат". Выражение с n переменными, определенными на заданных областях, которое становятся высказыванием при любой подстановке допустимых значений переменных, называется n- местным предикатом. Предикаты часто записывают в виде P(x), Q(x,y).

Прямое или декартово произведение множеств множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах. Сейчас термин отображение чаще всего называют функцией. Нестрогое определение: функция это «закон», по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Теоретико-множественное определение: функция или отображение это кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающий следующими свойствами: f X Y (декартово произведение X и Y) (x,y) f, (x',y') f, x = x' y = y'. x X y Y : (x,y) f. Для обозначения отображения используются такие формулы: F = (f, X, Y), F:X Y для отображения F множества X в множество Y. Множество X называется областью определения отображения F. Множество Y называется областью значений отображения F. (x,y) f, y=F(x) Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y значениями функции.

В математике кортеж последовательность конечного числа элементов. Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например, граф определяется как кортеж (V,E), где V это набор вершин, а E подмножество V × V, обозначающее рёбра. Отношение математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). Формальное определение отношения. n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах M 1,M 2,…,M n, называется подмножество прямого произведения этих множеств. Иногда понятие отношения определяется только для частного случая M=M 1 =M 2 =…=M n для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как: x 1,x 2,…,x n R

Формулы и первичные символы Следует рассмотреть, какие первичные символы могут использоваться при записи формул в алгебраической системе. Это прежде всего числа, переменные, символы арифметических операций: +, -, *(умножить), /(разделить); символы логических операций:,,, (если то), (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность); символы операций отношения:,,,,, ; кванторы предикатов: (для всех), (существует); символы операций над множествами:,,,,,,, (если то), (тогда и только тогда, равнозначность, эквивалентность) ; круглые скобки (, ) для определения последовательности выполнения операций; и др.

Примеры записи и чтения Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) совпадает с областью значений переменной x. («Его можно читать так: Для все значений x высказывание P(x) верно»). Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x) непуста. («Его можно читать так: Существует x при котором высказывание P(x) верно»). Пример записи высказывания с использованием предикатов: A=B ( x)[x A x B] Квадратные скобки [ ] задают область определения. Здесь приведена аксиома равенства двух множеств A и B. Аксиома читается так: Множества A и B равны, тогда и только тогда, когда для всех x в области определения выполняется условие: x принадлежит A тогда и только тогда, когда x принадлежит B. Другой пример. Определение декартова произведения через предикаты. A B = {(x,y) x A y B} Определение читается так: Декартово произведение множеств A и B - это множество (фигурные скобки) пар (x,y) таких, что x принадлежит A и y принадлежит B.

Формальная (аксиоматическая) теория Формальная (аксиоматическая) теория, формальное исчисление это понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории доказательства. Формальная теория разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода. Определение Формальная теория T это: - конечное множество A символов, образующих алфавит; - конечное множество F слов в алфавите A, F A*, которые называются формулами; - подмножество B формул, B F, которые называются аксиомами; - множество R отношений R на множестве формул, R R, R F n+1, которые называются правилами вывода.

Можно сказать, что формальная теория T это четверка: T= где A – алфавит, F – множество формул, F A*; B – множество аксиом, B F; R – множество правил вывода, R R, R F n+1. Множество символов A может быть конечным или бесконечным. Обычно для образования символов используют конечное множество букв, к которым при необходимости приписываются в качестве индексов целые числа или выражения. Множество формул F обычно задаётся индуктивным определением, например, с помощью формальной грамматики. Как правило, это множество бесконечно. Множества A и F в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории. Множество аксиом B может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории). Множество правил вывода R, как правило, конечно.

Математическая формула (от лат. formula уменьшительное от forma образ, вид ) всякая символическая запись (в виде выражения, равенства или неравенства), содержащая какую-либо информацию. По сути это символьные выражения либо точного, либо приближенного, либо неверного соответствия между математическими выражениями. Аксиома (др.-греч. ξίωμα утверждение, положение) или постулат утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств. Теорема (др.-греч. θεώρημα «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). Частным случаем теорем являются аксиомы, которые принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Для аксиом доказательством служит пустой вывод. В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения- теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Материя фундаментальное физическое понятие, связанное с любыми объектами, существующими в природе, о которых можно судить благодаря ощущениям.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Заключение Из выше сказанного можно сделать вывод, что формальную теорию можно охарактеризовать, используя следующие главные компоненты: - Основные символы (алфавит); - правила образования слов (формул); - аксиомы; - правила вывода. Множество основных символов содержит символы для обозначения констант, операторов и т.д. Из этих символов, согласно правилам образования, строятся утверждения (формулы). Первичные утверждения, истинность которых принимается без доказательства, называются аксиомами системы. В соответствии с правилами вывода из истинных утверждений выводятся новые истинные утверждения – теоремы.

Если требуется доказать истинность утверждения в той или иной формальной системе, то соответствующее доказательство представляет собой такую последовательность утверждений, в которой: каждое утверждение является аксиомой или его можно получить из одного или более предыдущих утверждений с помощью ряда правил вывода; последнее утверждение является тем утверждением, которое надо доказать. Для сокращения длины доказательств используют следующие приёмы: а) утверждения, ранее доказанные как теоремы, вставляются в доказательства без доказательства их истинности; б) некоторые достаточно очевидные утверждения могут быть опущены (использованы неявно).