по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ» для подготовки магистров по направлению «Радиотехника» 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ Тема 1. Методологические основы моделирования. Тема 2. Методы моделирования случайных величин с заданным законом распределения. Тема 3. Моделирование случайных процессов. Тема 4. Модели случайных процессов с долговременной зависимостью. Тема 5. Фрактальные процессы. Тема 6. Моделирование радиоканалов. Тема 7. Моделирование процессов преобразования сигналов и помех линейными и нелинейными системами Тема 8. Модели систем массового обслуживания с очередями. Тема 9. Статистический анализ и обработка результатов математического моделирования 2

МОДЕЛИРОВАНИЕ – 1. Методологические основы моделирования замещение исследуемого объекта его условным образом, описанием или другим объектом, обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Общие требования к моделям: 1) адекватность – достаточно точное и непротиворечивое отображение свойств объекта; 2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте; 3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров, интересующих исследователя; 4) вычислительная сложность – должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств. 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ – 1. Методологические основы моделирования абстрактно-формализованное описание системы, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, которое обеспечивает воспроизведение результатов работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при их натурных испытаниях. 4

КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ 1. Методологические основы моделирования Структурные модели – отражают структуру системы, опираясь на ее устройство и физические механизмы функционирования Функциональные модели – используют ся в отсутствии информации о структуре системы и отражают только внешние результаты ее функционирования («black box») 5

ФОРМАЛЬНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 1. Методологические основы моделирования -Детерминированные / Стохастические -Линейные / Нелинейные (по выполнению принципа суперпозиции) -Статические / Динамические -Сосредоточенные / Распределенные 6

АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 1. Методологические основы моделирования процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: - аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для характеристик систем; - численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде и их решают для конкретных начальных данных; - качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые его свойства. 7

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 1. Методологические основы моделирования воспроизводится алгоритм («логика») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды и с течением времени. -Ориентировано на моделирование сложных систем, когда аналитическое моделирование невозможно либо затруднено в силу ограниченного понимания физических принципов функционирования системы; -Позволяет легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. -Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ. 8

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 1. Методологические основы моделирования многократно повторяющееся имитационное моделирование работы стохастической системы с целью оценки статистических характеристик его результатов (метод Монте-Карло). -Применяется при моделировании сложных динамических систем -Результаты моделирования представляют собой случайные величины или процессы -Для принятия решений по результатам моделирования проводится математическая обработка (статистическое оценивание, проверка гипотез и др.) 9

ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Методологические основы моделирования 1)Принцип информационной достаточности – необходимо обладать достаточным объемом исходной информации о системе 2)Принцип осуществимости – модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, за конечное время 3)Принцип множественности моделей – модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности 4)Принцип агрегирования – разукрупнение модели в подсистемы и отдельные элементы 5)Принцип параметризации – возможность изменения параметров модели, отражающей внешние условия 10

ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Методологические основы моделирования 1)Постановка задачи, определение объекта и целей исследования 2)Выбор типа математической модели 3)Предварительный контроль (валидация) модели -контроль размерностей – приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности -контроль порядков – определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются -контроль граничных условий - проверяется соответствие граничным условиям задачи -контроль устойчивости модели – допустимое в реальности варьирование исходных данных не приведет к существенному изменению решения 11

ЭТАПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ 1. Методологические основы моделирования 1)определение цели моделирования; 2) разработка концептуальной модели; 3) формализация модели; 4) программная реализация модели; 5) планирование модельных экспериментов; 6) реализация плана эксперимента; 7) анализ и интерпретация результатов моделирования. 12

ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. За эталон генератора случайных чисел (ГСЧ) принят такой генератор, который порождает последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0; 1). Моделирование случайных величин с заданным законом распределения основано, как правило, на преобразовании равномерно распределенных случайных величин в величины с заданным законом распределения с помощью некоторого отображения. 13

ФИЗИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Примером является аппаратный генератор шума, использующий собственные тепловые шумы полупроводникового элемента, напр. транзистора 14

ДИАГРАММЫ АППАРАТНОГО ГЕНЕРАТОРА ШУМА 2. Моделирование случайных величин. Стробирование Сравнение Квантование Оцифровка 15

РЕАЛИЗАЦИЯ АППАРАТНОГО ГЕНЕРАТОРА ШУМА 2. Моделирование случайных величин. 16

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Метод серединных квадратов Недостатки: 1) если на некоторой итерации число R0 станет равным нулю, то генератор вырождается, поэтому важен правильный выбор начального значения R0; 2) генератор будет повторять последовательность через Mn шагов (в лучшем случае), где n разрядность числа R0, M основание системы счисления. 17

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Метод серединных произведений 18

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Метод перемешивания 19

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Линейный конгруэнтный метод r i + 1 = mod(k · r i + b, M) M модуль (0 < M); k множитель (0 k < M); b приращение (0 b < M); r 0 начальное значение (0 r 0 < M). 20

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Метод Фибоначчи с запаздываниями вещественные числа из диапазона [0,1); a, b целые положительные числа 21

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Регистр сдвига – конфигурация Фибоначчи Переменная состояния хранится в регистре длины N. Генерация следующего состояния включает два шага: - Подсчитывается значение бита C = X i1 xor X i2 xor… X ik, где i1, i2… ik номера битов регистра. - Регистр сдвигается на 1 бит вправо, крайний левый бит принимает значение С =1 XOR =1 XOR =1 XOR 0

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Регистр сдвига – конфигурация Галуа =1 XOR =1 XOR =1 XOR

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Обобщенный алгоритм генератора случайных чисел на регистре сдвига с обратной связью 24

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2. Моделирование случайных величин. Обобщенный алгоритм генератора случайных чисел на регистре сдвига с обратной связью -- простое число Пары чисел Мерсена: Алгоритм R250 (Kirkpatrick-Stoll, 1981) Дальнейшее повышение периода псевдослучайных последовательностей может производиться путем их комбинации: 25

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ГЕНЕРАТОРА 2. Моделирование случайных величин. Проверки на равномерность распределения 1)ГСЧ должен выдавать значения статистических параметров, характерные для равномерного случайного закона: математическое ожидание; дисперсия; среднеквадратичное отклонение. 26

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ГЕНЕРАТОРА 2. Моделирование случайных величин. Проверки на равномерность распределения 2) Частотный тест – позволяет выяснить, сколько чисел попало в интервал (m r – σ r ; m r + σ r ), т.е. (0.5 – ; ) = (0.2113; ) – =

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ГЕНЕРАТОРА 2. Моделирование случайных величин. Проверки на равномерность распределения 3) Проверка по критерию «хи-квадрат» 28

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ГЕНЕРАТОРА 2. Моделирование случайных величин. Проверки на равномерность распределения 3) Проверка по критерию «хи-квадрат» χ 2 эксп. = (n 1 – p 1 · N) 2 + (n 2 – p 2 · N) 2 + … + (n k – p k · N) 2. 29

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ГЕНЕРАТОРА 2. Моделирование случайных величин. Проверки на статистическую независимость 1)Проверка на частоту появления цифры в последовательности (теоретическая вероятность определяется системой счисления) 2)Проверка появления серий из одинаковых цифр (теоретическая вероятность определяется системой счисления) 30

Вероятность превышения заданного порога Q Чтобы абстрагироваться от конкретного распределения данных, удобно рассматривать относительные значения Проверка на статистическую независимость методом интервальных статистик 2. Моделирование случайных величин. 31

Проверка на статистическую независимость методом интервальных статистик 2. Моделирование случайных величин. Плотность вероятности распределения интервалов между выбросами процесса с независимыми отсчетами (выбросы формируют пуассоновский поток событий) 32

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения 2. Моделирование случайных величин. 1) Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения 33

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения 2. Моделирование случайных величин. 2) Метод ступенчатой аппроксимации 34

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения 2. Моделирование случайных величин. 3) Метод Неймана (метод исключения) 35

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения 2. Моделирование случайных величин. 4) Синтез нормального распределения из равномерного – алгоритм Бокса-Мюллера 36

Формирование случайных процессов с заданными корреляционными свойствами 2. Моделирование случайных процессов. Преобразование в линейной системе 37

За вычетом мат. ожидания АР1 имеет вид Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Авторегрессионное уравнение 1-го порядка -- БШ -- для стационарного процесса или 38

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Авторегрессионное уравнение 1-го порядка Дисперсия Условное среднее -- БШ Ковариация 39

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Авторегрессионное уравнение 1-го порядка АКФ -- БШ Интервал корреляции 40

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Авторегрессионное уравнение 2-го порядка -- БШ Мат. ожидание Дисперсия АКФ 41

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Авторегрессионное уравнение p-го порядка -- БШ АКФ 42

Оценка параметров авторегрессионной модели данных 2. Моделирование случайных процессов. Уравнения Юла – Уокера В матричной форме 43

Оценка параметров авторегрессионной модели данных 2. Моделирование случайных процессов. Пример описания процесса АР-моделью по виду АКФ Уравнения Юла – Уокера Решение 44

Способы определения интервала корреляции 2. Моделирование случайных процессов. Определение 1 K Определение 2 K(τ) dτ Определения 3 и 4 K(τ)dτK(τ)dτ K 2 (τ) dτ 45

Типовые АКФ и их интервалы корреляции 2. Моделирование случайных процессов. 46

Типовые АКФ и их интервалы корреляции 2. Моделирование случайных процессов. 47

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Модель скользящего среднего 1-го порядка Мат. ожидание -- БШ Дисперсия 48

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Модель скользящего среднего 1-го порядка Ковариация -- БШ АКФ 49

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Модель скользящего среднего q-го порядка Ковариация АКФ 50

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Модель авторегрессии – скользящего среднего 1-го порядка Ковариация АКФ 51

Модели случайных процессов с кратковременной зависимостью 2. Моделирование случайных процессов. Обобщенная модель авторегрессии – скользящего среднего Ковариация Асимптотически АКФ для k > q определяется только АР составляющей 52

Модели интегрированных и долговременно-зависимых процессов 2. Моделирование случайных процессов. ARIMA – интегрированный ARMA (АРСС) Модель случайного блуждания (Random Walk – RW) -- БШ Мат. ожидание и дисперсия возрастают процесс нестационарный 53

Модели интегрированных и долговременно-зависимых процессов 2. Моделирование случайных процессов. Модель случайного блуждания (Random Walk – RW) -- БШ Ковариация АКФ 54

Модели процессов с долговременной зависимостью (ДВЗ) 2. Моделирование случайных процессов. Процесс с бесконечным интервалом корреляции K(τ) dτ АКФ затухает медленее экспоненты, наиболее часто используется степенная модель СПМ также имеет вид степенной функции 55

Самоподобные (масштабно инвариантные) модели случайных процессов 2. Моделирование случайных процессов. При масштабировании имеем Показатель Хёрста Пример: задача случайного блуждания 56

Модели случайных процессов со степенной АКФ (фрактальные модели) – частный случай СП с ДВЗ 2. Моделирование случайных процессов. Для процесса со степенной АКФ Средний квадрат отклонения может быть выражен через СПМ 57

Флуктуационный анализ 2. Моделирование случайных процессов. Введем функцию разбиения случайного процесса на v = N / s неперекрывающихся окон Обобщенная (нелинейная) АКФ фрактального процесса Для мультифрактального процесса 58

Флуктуационный анализ 2. Моделирование случайных процессов. 1. Вычисление кумулятивной суммы 2. Вычисление флуктуационной функции 3. Вычисление отклонения от аппроксимации порядка q H (q) – обобщенный показатель Хёрста 59

Флуктуационный анализ на основе вейвлет- преобразования 2. Моделирование случайных процессов. 1. Вычисление локальной суммы в сегменте k 2. Взятие первых (вторых,...) разностей (в соответствии с порядком метода) 3. Вычисление флуктуационной функции порядка q Связь с АКФ: 60

Флуктуационный анализ на основе вейвлет- преобразования (WTA) 2. Моделирование случайных процессов. 61

Флуктуационный анализ методом центрированного скользящего среднего (CMA) 2. Моделирование случайных процессов. 1. Вычисление кумулятивной суммы (профиля) 2. Вычисление центрированного скользящего среднего в окне длиной s 3. Вычисление флуктуационной функции порядка q Показатель Хёрста: 62

Флуктуационный анализ методом центрированного скользящего среднего (CMA) 2. Моделирование случайных процессов. 63

Флуктуационный анализ с исключением полиномиального тренда (DFA) 2. Моделирование случайных процессов. 1. Вычисление кумулятивной суммы 2. Вычисление флуктуационной функции 3. Вычисление отклонения от аппроксимации порядка q H (q) – обобщенный показатель Хёрста 64

Связь автокорреляционных и флуктуационных характеристик фрактального случайного процесса 2. Моделирование случайных процессов. Для процесса со степенной АКФ Откуда показатель Хёрста – положительная корреляция – отрицательная корреляция H = 1/2 – некоррелированный процесс m 2 = 65

Синтез и преобразования ДВЗ-процесса 2. Моделирование случайных процессов. 1. ДифференцированиеH = H – 1 2. Интегрирование H = H + 1 СПМ ДВЗ – процесса Формирующий фильтр для ДВЗ – процесса Преобразование СПМ (при негауссовском распределении итерационное, алгоритм Шрайбера- Шмидца) 66

Синтез ДВЗ-процесса методом линейной фильтрации 2. Моделирование случайных процессов. 67

Формирование случайного процесса с заданным распределением и заданными корреляционными свойствами 2. Моделирование случайных процессов. Синтез отсчетов с равномерным распределением Преобразование распределения (метод обратной функции распределения, метод Неймана и др.) Линейная фильтрация (задание корреляционнных свойств) Алгоритм Шрайбера – Шмитца Поранговая замена отсчетов (восстановление распределения) Р+ К- К+ Р- Оценка корреляционных свойств (H, γ, β) 68

Флуктуационный анализ с исключением полиномиального тренда (DFA) 2. Моделирование случайных процессов. 69

Флуктуационные функции 2. Моделирование случайных процессов. 70

2. Моделирование случайных процессов. Сопоставление характеристик КВЗ- и ДВЗ-процессов (DFA) 71

2. Моделирование случайных процессов. Сопоставление характеристик КВЗ- и ДВЗ-процессов (WTA) 72

2. Моделирование случайных процессов. Сопоставление характеристик КВЗ- и ДВЗ-процессов (АКФ) 73

2. Моделирование случайных процессов. Сопоставление характеристик КВЗ- и ДВЗ-процессов (СПМ) 74

2. Моделирование случайных процессов. Моделирование процесса с нелинейной ДВЗ – биномиальный каскад 75

2. Моделирование случайных процессов. Моделирование процесса с нелинейной ДВЗ – случайный мультипликативный каскад 76

2. Моделирование случайных процессов. Каскады с фиксированными и случайными множителями 1. Достоинство – легко получить аналитические решения для статистических характеристик 2. Недостаток – квантованность по уровню значений итоговой реализации, определяемая числом итераций алгоритма 77

2. Моделирование случайных процессов. Выбросы флуктуационных составляющих случайных процессов 78

2. Моделирование случайных процессов. Статистики экстремумов вариационных рядов Экстремум вариационного ряда Вероятность появления хотя бы одного выброса в выборке из R элементов Условие сходимости Функция распределения вероятностей экстремальных значений 79

2. Моделирование случайных процессов. Обобщенные распределения экстремумов вариационных рядов Предельные распределения сводятся к трем основным случаям -- распределение Гумбеля (Gumbel) -- распределение Фречета (Frechet) -- распределение Вайбулла (Weibull) 80

2. Моделирование случайных процессов. Интервальные статистики выбросов случайных процессов с линейной ДВЗ Плотность вероятности распределения интервалов между выбросами процесса с независимыми отсчетами (выбросы формируют пуассоновский поток событий) Плотность вероятности распределения интервалов между выбросами процесса с линейной ДВЗ 81

2. Моделирование случайных процессов. Интервальные статистики выбросов случайных процессов с линейной ДВЗ Обобщенная аппроксимация ПВ растянутым гамма- распределением (производной от распределения Вайбулла) ФР в этом случае описывается функцией Вайбулла (Weibull) Иногда удобно использовать ФР для проверки вида распределения, особенно при коротких реализациях 82

2. Моделирование случайных процессов. Интервальные статистики выбросов случайных процессов с нелинейной ДВЗ При выраженной нелинейной зависимости ПВ интервалов стремится к степенному распределению При комбинации линейной и нелинейной ДВЗ обобщенная аппроксимация может быть выполнена растянутым гамма- распределением 83

2. Моделирование случайных процессов. Типичные виды ПВ интервалов для случайных процессов с ДВЗ 84

2. Моделирование случайных процессов. Оценка вероятности выброса на основе интервальных статистик Оценка вероятности одно- или многократного превышения порога Q в течение интервала Для случая СП с независимыми отсчетами При условии Δt << R Q, 85

2. Моделирование случайных процессов. Оценка вероятности выброса на основе интервальных статистик Для случайных процессов с линейной ДВЗ 86

2. Моделирование случайных процессов. Оценка вероятности выброса на основе интервальных статистик Для случайных процессов с выраженной нелинейной ДВЗ Для Δt << t, 87

2. Моделирование случайных процессов. Оценка вероятности выброса на основе интервальных статистик Для случайных процессов с комбинированной ДВЗ (типично для трафика в многопользовательских информационных системах), если ПВ имеет вид можно приближенно получить оценки для Δt << t R Q / λ 88

2. Моделирование случайных процессов. Оценка вероятности выброса на основе интервальных статистик 89

СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ [1] Андреева О.М., Богачев М.И., Ипатов В.П. и др. Математическое моделирование случайных процессов. Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю.Д. Ульяницкого. Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», [2] Андреева О.М., Богачев М.И., Ипатов В.П. и др. Компьютерный практикум по дисциплинам «Математический аппарат радиотехники» и «Статистическая теория РТС». Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю.Д. Ульяницкого. Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», [3] Андреева О.М., Богачев М.И., Красичков А.С. и др./ Преобразование сигналов и помех линейными и нелинейными системами. Учеб. пособие /Под общ. ред. проф. Ю.Д. Ульяницкого. Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», [4] Фрактальные процессы в телекоммуникациях: монография / О.И. Шелухин, А.М. Тенякшев, А.В. Осин; Под ред. О.И. Шелухина. - М. : Радиотехника, [5] Шелухин О.И. Моделирование информационных систем / Под ред. О.И. Шелухина. - М.: Горячая линия-Телеком,