ТЕМА: «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПУНКТОВ»

1. Снесение координат с вершин знака на землю. 2. Прямая засечка. 3. Обратная засечка. 4. Линейная засечка.

1. Снесение координат с вершин знака на землю. Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными угловыми, а при наличии электронных дальномеров – линейными засечками и лучевым методом. В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на землю.

При привязке полигонометрического (теодолитного) хода к пункту триангуляции, на котором нельзя установить прибор, выбирают на земле вблизи этого пункта А (на расстоянии 50–100 м от него) точку Р. в таком месте, чтобы, кроме пункта А были видны два удаленных пункта исходной сети В и С (один из них необходим для контроля) и удобно было измерить два базиса для определения неприступного расстояния АР.

Второй базис b / и углы при нем β' 1, β' 2, используют для контроля определения расстояния АР и повышения точности получения окончательного его значения. Рассмотрим решение задачи по этапам. 1. Вычисление дирекционных углов (АВ), (АС) и расстояний АВ=s, AC=s'. Имея координаты пунктов А и В, вычисляют дирекционный угол (АВ) (1)

и расстояние АВ = s (2) Если полученные значения s различаются на две единицы последнего знака, то за окончательное принимают среднее арифметическое. Точно так же определяют дирекционный угол (АС) и расстояние АС. Иногда дирекционные углы (АВ), (АС) и расстояния АВ, АС бывают известны из материалов исходной геодезической сети.

2. Вычисление расстояния АР=d. Недоступное расстояние АР = d определяют дважды: (3) где γ = – (β 1 + β 2 ), γ' = – (β' 1 + β' 2 ).

Разность | d 1 – d 2 | не должна превышать где За окончательное значение расстояния АР принимают среднее арифметическое значение (4) – предельная относительная погрешность измерения базисов b и b'.

3. Вычисление дирекционного угла (AP). Решая треугольники ABP и ACP, находят (5)

Затем вычисляют вспомогательные углы φ и φ φ = – (δ + ψ), φ' = – (δ' + ψ'). (6)

По этим углам определяют два значения дирекционного угла (AP) (AP) 1 = (АВ) + φ, (AP) 2 = (АС) – φ. (7) Расхождение между значениями (АР) 1 и (АР) 2 должно удовлетворять неравенству (8) где m – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

4. Вычисление координат точки P По расстоянию AP = d и дирекционному углу (АР) находят, приращения координат (9) Затем вычисляют координаты точки Р (10)

За окончательные значения координат принимают средние арифметические значения (11)

5. Оценка точности положения точки Р. Средней квадратической ошибкой положения точки называется средняя величина смещения относительно ее точного положения и определяемая в общем случае соотношением (12) (13) Для данного случая можно использовать формулу

2. Прямая засечка. Для решения прямой засечки, заключающейся в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов и измеренным при них углам, предложено много различных формул.

а) Формулы Юнга Даны координаты точек А, B, C. Измерены углы β 1, β 2, β 1 /, β 2 /. Требуется определить координаты точки P (x, y).

Если встать между исходными пунктами и смотреть на определяемый пункт P, то пункт А будет левым, а В – правым. Условимся обозначать соответствующими индексами координаты исходных пунктов и измеренные углы.

Тогда формулам Юнга можно придать следующий вид: (14) (15) где Λ и П – значения углов при левом и правом пунктах (Λ= 1, П = 2 ).

В целях контроля находят угол γ=180 0 – 1 – 2, а затем по координатам пункта В (левый) и координатам пункта Р (правый) по формулам (14) и (15) вычисляют координаты пункта А, которые должны совпадать с заданными. Для полного контроля полевых измерений и выписки исходных данных нужно решить, задачу, используя координаты точек В и C.

Расхождение между абсциссами и ординатами при первом и втором решении должны удовлетворять условию (16) где М r – среднее квадратическое расхождение в положении пункта Р из двух решений. В свою очередь, где М 1 и М 2 – СКО положения пункта Р из первого и второго решения.

СКО положения пункта Р, определяемого прямой засечкой, вычисляется по формуле где m – СКО измерения углов; s 1 и s 2 – расстояние от исходных пунктов до определяемого (можно вычислить по координатам точек); – угол засечки. (18)

б) Формулы Гаусса. При определении точки прямой засечкой может не быть видимости между смежными точками А, В и С. В таком случае целесообразно пользоваться формулами Гаусса, в которые входят дирекционные углы направлений с данных пунктов на определяемый.

Известны координаты точек А, B, C. Измерены углы 1, 2, 3. Требуется определить координаты точки P (X, Y). B P C A α 1 α 2 α 3

По измеренным углам и дирекционным углам направлений на другие исходные пункты, находим дирекционные углы направлений на определяемую точку α 1, α 2 и α 3. Запишем соответствие откуда Аналогично получим (19) (20)

Найдем разность Отсюда (21)

Вместо (19) и (20) можно записать (22) (23)

Нахождение ординат по двум формулам (22) и (23) позволяет проконтролировать вычисления. Таким образом, формулы (21), (22) и (23) – формулы Гаусса для определения координат. Для контроля правильности полевых измерений вычисляют координаты точки Р вторично, используя другую пару исходных пунктов В и С и соответствующие дирекционные углы.

3. Обратная засечка (задача Потенота) Сущность обратной засечки заключается в определении положения четвертого пункта (точки стояния) по трем исходным. Эта задача встречается при создании съёмочных сетей, привязке аэрофотоснимков, выносе проектов в натуру и других случаях.

На основе трех исходных пунктов задача решается без контроля правильности измерения углов и выборки исходных данных. Поэтому на практике используют четыре исходных пункта. Точность определения положения пункта обратной засечкой зависит от ошибок измерения углов, ошибок исходных данных и взаимного расположения пунктов. Обратную засечку рекомендуется делать с предвычислением точности.

Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены углы β 1, β 2. Требуется определить координаты точки P (X, Y). a b A P B C ψ φ β 1 β 2

В начале решением обратных геодезических задач определим дирекционные углы и длины исходных линий:

Далее задача сводится к определению углов φ и ψ. Определим полусумму углов φ и ψ, которую обозначим как А Определим полуразность этих углов, которую обозначим через В

Определим диаметры описанных окружностей около треугольников ABP и BCP: Выразим сторону ВР через Д 1, Д 2 и углы φ и ψ. Откуда

Разделив две части этого равенства на Д 1 sin ψ, получим. Образуем пропорцию и введем обозначение N:

С учетом формул для определения Д 1 и Д 2 С учетом тригонометрических формул

Отсюда. Вычислив значения А и В, определим углы φ и ψ φ = А+ В, ψ = А – В. Далее определим длину линии АР

Координаты точки Р: Для контроля координат точки Р можно вычислить второй раз, используя формулы,

D A B C P b 1 b 3 b 2 Рассмотренная обратная засечка по трем исходным пунктам называется однократной. В таком виде она, как правило, не допускается, т.к. не контролируется правильность измерения углов и выписка исходных данных. Для полного контроля наблюдается не 3, а минимум 4 пункта.

Задача решается дважды при различном сочетании исходных пунктов. Например, первый раз используются пункты А, В, С и второй раз пункты В, С, D. Для каждого варианта решения определяется СКО положения пункта М. Ожидаемое среднее квадратическое значение M r расхождения в положении пункта Р при двух решениях составит

Отсюда допустимое расхождение в значениях вычисленных координат можно установить по формуле где X /,Y / – координаты точки из 1-го решения; X //,Y // – координаты точки из 2-го решения. За окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку

4. Линейная засечка. Задача линейной засечки заключается в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов и измеренным расстояниям от определяемого пункта до исходных (однократная засечка). Для контроля определения используются координаты третьего исходного пункта и расстояния до него от определяемого.

Даны координаты пунктов А, B, C. Измерены линии S 1, S 2, S 3. Требуется определить координаты точки P (X, Y). A S 2 C B P S 3 S 1 S β 2 β1β1 γ 2 γ 1

Рассмотрим однократную засечку с использованием пунктов А и В. 1. Решением обратной геодезической задачи определим дирекционный угол и длину линии АВ:

2. Определим угол β 1, используя теорему косинусов: 3. Определим дирекционный угол линии АР

4. Определим координаты точки Р: Для контроля решения задачи вычисляется длина линии ВР и сравнивается с измеренной

Расхождение не должно превышать 3-х единиц последнего знака в измеренном значении линии S 2. Для полного контроля определения вычисляется сторона СР и сравнивается с измеренной S 3

Допускается |СР–S 3 | <6m s где m s – СКО измерения расстояний S 3. Однако в целях повышения точности окончательных значений искомых координат задачу лучше решать дважды. При втором решении используют исходные пункты В, С и расстояния S 2, S 3.

Допустимое расхождение в координатах определяют по формуле В свою очередь

где М 1 и М 2 – СКО положения пункта Р, определенного линейной засечкой в первом и втором вариантах; γ – угол засечки.

Величину угла засечки (для первого решения) можно найти из выражения За окончательное значение координат пункта Р берут среднее арифметическое, которое будет иметь ошибку